Производни

[borku]

Здравейте,

Ако можете да ми предложите някакъв разумен начин за решаване на подточките б, в, г?

Благодаря, предварително!

[Реклама]

[d/dx]

Ако разгледаш нарастването на функцията в точката (0, 0), ще имаш:

[tex]f(x,y)-f(0,0)=\frac{(x+y)^3}{x^2+y^2}.[/tex]

Оттук, между другото, се вижда, че в израза за нарастването няма линейна част нито по х , нито по у, което значи, че частните производни в нулата (ако съществуват!) са нули.

Тъй като [tex]|x|\le \sqrt{x^2+y^2}[/tex] и [tex]|y|\le \sqrt{x^2+y^2}[/tex], имаш

[tex]|f(x,y)-f(0,0)|\le \frac{x^2|x|+3x^2|y|+3y^2|x|+y^2|y|}{x^2+y^2}\le 4\sqrt{x^2+y^2}<\epsilon[/tex], щом [tex]\sqrt{x^2+y^2}<\delta=\frac{\epsilon}{4},[/tex] откъдето веднага виждаш, че функцията е непрекъсната в нулата.

Тъй като

[tex]\left|\frac{f(x,y)-f(0,0)}{\sqrt{x^2+y^2}}\right|\le 4,[/tex]

виждаме, че функцията не е диференцируема, тъй като последното отношение не клони към нула при [tex]x\to 0, y\to 0.[/tex]
Съществуването на частните производни се установява с непосредсвено приложение на дефиницията за частни производни в точка:

[tex]\frac{\partial f(0,0)}{\partial x}=\lim_{x\to 0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x}=0[/tex]

За б) просто смяташ смесената производна на функцията и заместваш х с -1 и у с 1.

[d/dx]