Тетраедър

[viva_love]

Здравейте, моля ви, помогнете ми с една задачка:

За тетраедър АBCM е дадено AB=AC=AM=BM=CM=l (ел) и ъгъл CAB = [tex] \alpha [/tex] . Намерете обема на тетраедъра. Моля ви, опитайте, много ми трябва.

[Реклама]

[Spider Iovkov]

Имаме [tex]AM=BM=CM \Leftrightarrow AO=BO=CO, O \ - \ [/tex] пета на височината на пирамидата върху основата, тогава [tex]O[/tex] е център на описаната около [tex]\triangle ABC[/tex] окръжност. Очевидно [tex]B=S_{\triangle ABC}=\frac{l^2 sin\alpha}{2} \, (*)[/tex].
От [tex]\angle BAC=\alpha \Rightarrow \angle ACB=\angle ABC=90^\circ-\frac{\alpha}{2}[/tex]. По синусовата теорема [tex]\frac{AC}{sin\angle ABC}=2R \Leftrightarrow \frac{l}{sin(90^\circ-\frac{\alpha}{2})}=2R \Leftrightarrow R=\frac{l}{2 cos{\frac{\alpha}{2}}} \Leftrightarrow AO=BO=CO=\frac{l}{2 cos{\frac{\alpha}{2}}}[/tex].
[tex]MO\bot AO \Leftrightarrow AO^2+MO^2=AM^2 \Leftrightarrow \frac{l^2}{4 cos^2{\frac{\alpha}{2}}}+MO^2=l^2 \Leftrightarrow MO=\frac{l}{2 cos{\frac{\alpha}{2}}}\sqrt{4 cos^2{\frac{\alpha}{2}}-1} \, (**)[/tex].
От [tex](*)[/tex] и [tex](**)[/tex] обемът е [tex]V=\frac{1}{3}Bh \Leftrightarrow V=\frac{l^3 sin{\frac{\alpha}{2}}}{6}\sqrt{4 cos^2{\frac{\alpha}{2}}-1}[/tex].

[viva_love]

олееее много ти благодаря супер си мерси много

[Tinna]

Изразът по радикала може да се сведе до произведение (ако е възможно- това се прави, защото трябва да е във вид, удобен за логаритмуване).