Конкурсна тема

[inimitably]

1.Да се реши [tex]\sqrt{2-x} - \sqrt{x+3}=1[/tex]

2.Да се реши неравенството [tex]|\frac{x-3}{x+1 }|<1[/tex]

3.Даден е успоредник [tex]ABCD[/tex] със страна [tex]BC=7[/tex] и диагонали [tex]AC=14 , BD=8[/tex].Да се намерят дължината на страната на [tex]AB[/tex] и лицето на успоредника.

4.Нека [tex]\alpha \in (\frac{\pi }{2 };\pi) [/tex] и [tex]15sin^2{\alpha }-29sin{\alpha }+12=0[/tex]. Да се пресметне [tex]tg{\frac{\alpha }{ 2}[/tex].

5.Около окръжност с център [tex]O[/tex] е описан трапец [tex]ABCD[/tex] [tex](AB||CD)[/tex], като [tex]OB=20,OC=15[/tex] и [tex]AD=30[/tex].Да се намери лицето на трапеца.

6. Да се реши уравнението [tex]2x-x^2=log_{2}(x^2+1)-log_{2}x[/tex]

7. Даден е триъгълник [tex]ABC[/tex] със страни [tex]BC=a,AC=b[/tex] и център [tex]I[/tex] на вписаната окръжност.Да се намери дължината на допирателната,прекарана от върха [tex]C[/tex] към описаната около триъгълника [tex]AIB[/tex] окръжност.

8.В триъгълна пирамида [tex]ABCD[/tex] ръбът [tex]AD[/tex] е пенпендикулярен на равнината на [tex]ABC[/tex] и [tex]AB=AC=AD=BC=1[/tex].Да се намери тангенсът на ъгъла и разстоянието между правите [tex]AB[/tex] и [tex]CD[/tex].

9.Да се намерят стойностите на реалния параметър [tex]a[/tex] , за които уравнението [tex]cos2x=1+sin^2{(ax)}[/tex] има единствено решение.

10.Да се намерят стойностите на реалния параметър [tex]a[/tex] , за които множеството от положителните решения на неравенството [tex]x^3+ax^2+(a+3)x-1<0[/tex] е интервал с дължина , по-голяма от [tex]1[/tex] и по-малка от [tex]2[/tex].

пп.извинявам се ако темата е пускана вече във форума.

[Реклама]

[martosss]

на 6-та сигурна ли си, че условието и е такова?

[merili]

1. x=-2
2. x [tex] \in [/tex] (1; +[tex] \infty [/tex])
3. AB=9, S=24 [tex] \sqrt{5} [/tex]
4. tg [tex] \alpha [/tex]/2 = -3
5. S=660

Дотук нещо вярно?

[martosss]

[merili]

[martosss]

Ето го решението на 6-та(най-после )
[tex]2x-x^2=log_2 (x^2+1)-log_2 x\\D.S.x>0\\x^2-2x+1=log_2 x-log_2 (x^2+1)+log_2 2\\(x-1)^2=log_2 \left(\frac{2x}{x^2+1}\right)[/tex]
Сега [tex](x-1)^2\ge 0\Right[/tex]
[tex]log_2 \left(\frac{2x}{x^2+1}\right)\ge 0\\\frac{2x}{x^2+1}\ge 1\\2x\ge x^2+1\\(x-1)^2\le 0\\x=1[/tex]
Оттук х=1 е единственото решение.

[merili]

Ее браво , нямаше да се сетя да го направя така.

[martosss]

[martosss]

[NoThanks]

На 9-та може и без разлагане. Просто [tex]1+sin^2(ax) \ge 1 \; cos2x \le 1[/tex] За да има решение трябва едното да е 0, другото 1. Иначе r2d2 я е пускал тази задача преди време, само че беше с [tex]cos3x[/tex]

[NoThanks]

На 10-та имам няква идея.
Вижда се, че f(0)=-1 <0 за всяко а. т.е x=0 винаги е решение на задачата. От друга страна уравнение от 3та степен има най-малко 1 и най-много 3 корена. Едно решение на неравенството би имало вида [tex]x \in (-\infty;x_{3}) \cup (x_{2};x_{1}) \; OR \; x\in (-\infty;x_{1}) \; OR \; x \in(x_{2};x_{1})[/tex]. Открихме, че x=0 винаги е корен. Тогава 0-та трябва да е някъде в тези интервали и тъй като търсим интервал(а не два интервала), то не може 0<x3 ( в 1вия случай). Toгава е ясно, че решението на задачата би имало вида [tex]x \in (0;x_{1})[/tex] От друга страна този интервал трябва да има дължина [tex] \in (1;2)[/tex]. Тогава [tex]x_{1} \in (1;2)[/tex]. т.е f(x)=0 трябва да има единствено решение в интервала (1;2). намираме [tex]f'(x)=3x^2+2ax+a+3 \; f"(x)=6x+2a[/tex] Искаме f(x) да е монотонна в (1;2) и [tex]f(1).f(2)<0[/tex] и x1 да е най-големият корен, т.е 1 да е по-голямо от по-големият екстремум.Решаването на f(1).f(2)<0 води до [tex]a\in (-\frac{13}{6};-\frac{3}{2})[/tex], а по-големият екстремум(при наличие на 2) ни води до [tex]a+3>\sqrt{a^2-3a-9} \Rightarrow a>-2[/tex] => отг. [tex]a\in (-2;-\frac{3}{2})[/tex]

[martosss]

Да, вярно А на 8-ма получавам [tex]\tan\angle (AB,CD)=\tan 60=\sqrt 3[/tex], а разстоянието го получавам [tex]\frac{5\sqrt 5}{7}[/tex].

[martosss]

а на 7-ма някой нещо измисли ли? вече от няколко часа я мъча безуспешно

[NoThanks]

[martosss]

[NoThanks]

[martin.nikolov]

[NoThanks]

Действително добра идея. Излезе, че задачата си е напълно решима, а отговорът дето го получих е [tex]\sqrt{ab}[/tex]. А тва чикирян от 1 приятел го прихванах Дано не звучи като обида, изобщо не го познавам човека

[_sssss]

[tex]10. \; \normal f(0)=-1[/tex] Значи неравенството винаги има положителни решения и търсеният интервал започва от 0. Той трябва да е и единствен.
[tex]\normal \begin{tabular}{||}f(1)<0 \\ f(2)>0\end{tabular} \; \Leftrightarrow a\in(-\frac{13}{6}; -\frac{3}{2})[/tex]
I. Ако f(x) има min след 2, стойността му трябва да е >=0. Но [tex]\normal f'(2)<0 \Leftrightarrow a<-3[/tex], което означава, че такова животно не може да има в допустимия интервал за a по-горе.
II. Ако има min и max (1;2), стойностите им трябва да са с еднакви знаци, но такива min и max съществуват при [tex]\normal (\ \frac{3+3\sqrt{5}}{2}; 6 )\[/tex]
III. А-а-ако има max (0;1), да е отрицателен. [tex]\normal f'(0)>0, f'(1)<0 \rightarrow a\in\emptyset[/tex]

Остава си [tex]a\in(-\frac{13}{6}; -\frac{3}{2})[/tex]
Дали това изчерпва всички случаи, в които a отговаря на първото условие, но не ни удовлетворява?

PS. NoThanks, сега видях, че си писал по нея, но не мисля че трябва да няма екстремуми след 1.

[NoThanks]

Всъщност действително това с екстремумите след 1 е само 1 от вариантите. Другите ти си ги написала, само дето f'(2)<0 трябва да е f(2)<0; ако има 2 есктремума с еднакви знаци, то f(по-големия) трябва да >0, т.е и f(по-малкия)>0. A в 3тия ти вариант имаш, че при вече получените за а ст-ти f'(x) не е монотонна в интервала (0;1) така че това условие за корен на f'(x)=0 не важи.
А иначе всеки вижда само това, което му е удобно

[_sssss]

Всъщност, дойде ми една по-рацинална идея, но едва ли бих се сетила за това, преди да изпиша нещата в предишния пост.
Нека първо проверим кога f(x) има екстремуми след 0, преди да мислим за тях.
[tex]\begin{tabular}{||}f'(0)>0 \\ \frac{a}{3}>0 \\ D>0\end{tabular} \Leftrightarrow a\in(\frac{3 + 3\sqrt{5}}{2};+\infty )[/tex]
В нашия интервал за a НЯМА такива!
И това е!

PS1. Аз не проверявам знаците на екстремумите, вобще не смятам стойността им. Първо пиша за кои стойности на параметъра има екстремуми в дадения интервал за x. Т.е. кога корените на производната принадлежат на него. Затова изследвам f'(x). После се вижда, че няма смисъл да проверявам стойностите им.
PS2. Само да изясним. Тъй като коеф. пред [tex]\normal x^3[/tex] е положителен [tex]\normal f'(x)=0 \rightarrow \varphi _{1}<\varphi _{2} \; \Leftrightarrow \; \nearrow \varphi _{1}\searrow \varphi _{2}\nearrow[/tex] Минимумът е при по-големият корен.

[ганка симеонова]

7 зад) Означаваме [tex]AL=bx; BL=ax; AO=R [/tex]
[tex]\Delta AOC\approx \Delta LBC ( why?)=>\frac{CO}{a } =\frac{AO}{ LB} =>\frac{CO}{a } =\frac{R}{ax } =>R=xCO [/tex]
[tex]AOBC [/tex]- вписан ( защо?)=>[tex]CL.LO=AL.BL=>CL(CO-CL)=abx^2=>CL. CO-CL^2=abx^2=> [/tex]
[tex]CL.CO-ab+abx^2=abx^2=>CO=\frac{ab}{CL } [/tex]
[tex]\Delta OTC=>CT^2=CO^2-TO^2=CO^2-x^2CO^2=CO^2(1-x^2)=\frac{a^2b^2}{CL^2 } (1-x^2)=\frac{a^2b^2}{ ab-abx^2} (1-x^2)=ab [/tex]

[r2d2]

Чиста тригонометрия! Използвам картинката на Ганка.

[tex]OT=OB=2R\sin \frac{\gamma}{2} [/tex]

[tex]CO=2R\sin (\beta +\gamma /2)[/tex]

[tex]CT^2=CO^2-OT^2=4R^2(\sin^2 \frac{\gamma}{2} - \sin^2 (\beta +\gamma /2))=4R^2(\frac{1-\cos (2\beta +\gamma)}{2}-\frac{1 - \cos \gamma}{2}) =2R^2(\cos \gamma - \cos (2\beta + \gamma)= [/tex]

[tex]=4R^2 \sin (\beta + \gamma) \sin \beta =2R \sin \alpha \cdot 2R \sin \beta=ab[/tex]

[ганка симеонова]

[NoThanks]

И на мен. Аз получих 7 за тангенса и [tex]\sqrt{\frac{3}{7}}[/tex] за разстоянието

[ганка симеонова]

[inimitably]

Две по-измислени решения на 7. са следните :

Нека [tex](O)\cap AC=Q[/tex] , тогава [tex]CQ=BC[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]CT^2=CQ.AC[/tex] * означенията са от чертежа на Ганка

Нека [tex]CI\cap (O)=K[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\triangle BCK[/tex][tex]\approx [/tex][tex]\triangle AIC[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]CT^2=IC.KC=AC.BC=\sqrt{ab} [/tex]

[kakawida]

аз получавам -sqrt{7}