Логаритмично уравнение.

[NetGh0st]

Да се реши уравнението:
[tex]log^{2}_{3}(x-2)+(x-5)log_{3}(x-2)=6-x[/tex]

Аз получавам 7/3 и 5.

[Реклама]

[mkmarinov]

[tex]DM : x-2>0[/tex]
[tex]log_3(x-2)=t[/tex]
[tex]t^2+(x-5)t+x-6=0[/tex]
[tex]D=(x-5)^2-4x+24=(x-7)^2[/tex]
[tex]t=\frac{-x+5 \pm (x-7)}{2}[/tex]
[tex]t=-1[/tex] или [tex]t=-x+6[/tex]
[tex]x-2=\frac{1}{3}[/tex] или [tex]3^{-x+6}=x-2[/tex]
[tex]x=\frac{7}{3}[/tex].
Относно второто уравнение, имаме равенство между намаляваща и растяща функция - те имат най-много 1 пресечна точка, в х=5.

[houslex]

Това може ли да го разпишеш подробно

[mkmarinov]

[tex]3^{-x+6}[/tex] е намаляваща за цялата си дефиницонна област.
[tex]x-2[/tex] е растяща за цялата си дефиницонна област.
Графиките на растяща и намаляваща функция имат най-много една пресечна точка (доказателството е елементарно).

[houslex]

[mkmarinov]

Кое не разбра от това, което написах?
Нека f'(x)>0; g'(x)<0 за всяко х. Нека f(x)=g(x) в точка [tex]A(x_0; y_0)[/tex]. За [tex]x>x_0[/tex] имаме, че [tex]f(x)>f(x_0) <=> f(x)>y_0[/tex], защото f(x) расте. Аналогично [tex]g(x)<y_0[/tex]. От тези двете следва, че за всяка точка след [tex]x_0[/tex] f(x)>g(x). Аналогично се доказва и за точките преди [tex]x_0[/tex].
Това можеше и сам да го направиш.

[krainik]