Геометричен смисъл на първата производна

[Is it black or white?]

Малко се оплетох в тея двете задачи, отначало си помислих, че съм решил първата, но тотално се оплетох, ако може някой да покаже, едно чертежче и едно бързо обяснение :Р

Зад. Зад. Дадена е функцията [tex] y=\frac{x+1}{x-3}[/tex]. Намерете обцисата [tex]x_o>3[/tex] на онази точка от графиката на функцията, допирателната в която отсича от първи квадрант триъгълник с най-малко лице (ВИАС - 1992г.)

Зад. Напишете уравнението на правата, минаваща през точката M(1,3), допираща се до графиката на функцията [tex]y=8\sqrt{x}-7[/tex] и пресичаща в две различни точки графиката на [tex]y=x^^2+4x-1[/tex]

[Реклама]

[_sssss]

1. Ако уравнението на допирателната е g(x), триъгълникът е правоъгълен. Лицето му се изразява чрез пресечните точки на g(x) с x и y.

2. Допирателната в точка x_0 пак е g(x).
g(1)=3, Намираме стойности за x_0.
Вече имаме линейни функции, и като приравним всяка от тях с онази, квадратната, проверяваме на колко места се пресичат.

Поне така бих тръгнала аз.

[Spider Iovkov]

Лили, не само че мислим по един и същ начин, ами даже сме означили уравнението на допирателната с една и съща буква, .
[tex]y=8\sqrt{x}-7 \Rightarrow f'(x)=\frac{4}{\sqrt{x}}, x>0[/tex]
Нека уравнението на допирателната към графиката на [tex]y[/tex] означим с [tex]g(x)[/tex]. Тогава [tex]g(x)=f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})[/tex]. Имаме [tex]f'(x_{0})=\frac{4}{\sqrt{x_{0}}}, f(x_{0})=8\sqrt{x_{0}}-7[/tex], откъдето [tex]g(x)=\frac{4}{\sqrt{x_{0}}}(x-x_{0})+8\sqrt{x_{0}}-7 \Leftrightarrow g(x)=\frac{4x_{0}+4x-7\sqrt{x_{0}}}{\sqrt{x_{0}}}[/tex].
По условие точката [tex]M\in g(x)[/tex] и [tex]M(1;3)[/tex], тоест [tex]g(1)=3[/tex]. Тогава
[tex]g(1)=3 \Leftrightarrow \frac{4x_{0}+4-7\sqrt{x_{0}}}{\sqrt{x_{0}}}=3 \Rightarrow 4x_{0}+4-7\sqrt{x_{0}}=3\sqrt{x_{0}} \Leftrightarrow 4x_{0}+4=10\sqrt{x_{0}}[/tex] [tex]\Leftrightarrow 2x_{0}+2=5\sqrt{x_{0}} \Rightarrow 4x_{0}^2-17x_{0}+4=0 \Leftrightarrow x_{0}=\frac{1}{4}, x_{0}=4[/tex]
[tex]x_{0}=\frac{1}{4} \Rightarrow g(x)=8x-5 \, (*)[/tex]
[tex]x_{0}=4 \Rightarrow g(x)=2x+1 \, (**)[/tex]
[tex](*) \, t(x)=x^2+4x-1; \, g(x)=t(x) \Leftrightarrow 8x-5=x^2+4x-1 \Leftrightarrow (x-2)^2=0 \Leftrightarrow x_{1}=x_{2}=2[/tex]
[tex](**) \, t(x)=x^2+4x-1; \, g(x)=t(x) \Leftrightarrow 2x+1=x^2+4x-1 \Leftrightarrow x^2+2x-2=0 \Leftrightarrow x_{1,2}=-1 \pm \sqrt{3}[/tex].

[_sssss]

[tex]y'=\frac{-4}{(x-3)^2} \\ x_0=a \\ g(x)=\frac{-4}{(a-3)^2}(x-a) + \frac{a+1}{a-3}[/tex]

[tex]g(0)=\frac{a^2 + 2a -3}{(a-3)^2}[/tex]-тук пресича y
[tex]g(x)=0 \rightarrow x=\frac{a^2 + 2a - 3}{4}[/tex]- тук пресича x

[tex]S=\frac{(a^2 +2a -3)^2}{8(a-3)^2}[/tex]
Търсим min на [tex]\| \frac{a^2 + 2a -3}{a-3}\|[/tex]. Това e при a=-3; a=1 и е 0. Няма такова лице на триъгълник!
В същност, при a>3 [tex]\| \frac{a^2 + 2a -3}{a-3}\|[/tex]. Има min за [tex]3+2\sqrt{3}[/tex]... И това, ВЕЧЕ, трябва да е крайният отговор!
Тази задача ме подлуди, но като не мога да смятам, така е!

[Spider Iovkov]

[tex]S'=\frac{(a^2+2a-3)(a^2-6a-3)}{4(a-3)^3}[/tex]
[tex]S'=0 \Leftrightarrow \frac{(a^2+2a-3)(a^2-6a-3)}{4(a-3)^3}=0 \Rightarrow (a^2+2a-3)(a^2-6a-3)=0 \Leftrightarrow[/tex]
[tex]a_{1}=1, a_{2}=-3, a_{3}=3+2\sqrt{3}, a_{4}=3-2\sqrt{3}; a_{1}<3, a_{2}<3, a_{4}<3 \Rightarrow x_{0}=a_{3}=3+2\sqrt{3}[/tex]

[Is it black or white?]

Благодаря и на двама ви, това е верният отговор