Oще две уравнения от геометрични задачи

[r2d2]

[tex]\frac{\sin (x+60) \sin 45}{\sin x \sin 15}=2[/tex]

[tex]\sin (x-15) \sin (90-x) \sin (x-30) \sin (x+75) = \sin 15 \sin 30 \sin 75[/tex]

[Реклама]

[martosss]

[ганка симеонова]

Марто, задачата е част от геометрична задача
Я поясни, кой е този мистериозен ъгъл?

[r2d2]

[mkmarinov]

[tex]\frac{sin(60+x)sin45}{sinxsin15}=\frac{sin(60+x)(3sin15-4sin^3 15)}{sinxsin15}=\frac{sin(60+x)(3-4sin^2 15)}{sinx}=\frac{sin(60+x)(3-2(1-cos30))}{sinx}=\frac{sin(60+x)(1+\sqrt{3})}{sinx}\\=\frac{(sin60cosx+cos60sinx)(1+\sqrt{3})}{sinx}=(1+\sqrt{3})(\frac{\sqrt{3}}{2}cotgx+\frac{1}{2})=\frac{3+\sqrt{3}}{2}cotgx+\frac{1+\sqrt{3}}{2}[/tex]
[tex]\frac{3+\sqrt{3}}{2}cotgx+\frac{1+\sqrt{3}}{2}=2[/tex]
[tex](3+\sqrt{3})cotgx=4-1-\sqrt{3}=3-\sqrt{3}[/tex]
[tex]tgx=\frac{3+sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}=\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{tg45+tg30}{tg45-tg30}=\frac{sin75}{sin15}=\frac{sin75}{cos75}=tg75[/tex]
x=75*

[martosss]

Оправих си решението, така по-добре ли е?

[NoThanks]

[r2d2]

x=0 не е единственото решение!

[NoThanks]

my bad. Трябва да разгледаме всички възможности(аргументът на всеки синус хикс от едната страна = аргументът на всеки синус хикс от другата). Окончателно x=60(и 120, но щом е геометрично имаме 90-x>0)

[ганка симеонова]

[r2d2]

Тази формула, която пак си приложила (дали някой, който не е чел предните задачи ще разбере, не знам) е страхотна (браво!).

Може и по-стандартно:

[tex]\sin (x-15) \sin (90-x) \sin (x-30) \sin (x+75) =1/8[/tex]

[tex]8(\sin(x-15) \sin(x+75))(\sin(90-x)) \sin(x-30)=1[/tex] и като приложим ф-лата за [tex]\sin x\sin y [/tex]се свежда до квадратно.

Жалко, че отново кандидатстудентите се ОЛЯХА!