Ирационално неравенство

[qwerradi]

[Реклама]

[mkmarinov]

[tex]x \in [-7;-5][/tex]
[tex]\sqrt{x+7}=u[/tex]
[tex]\sqrt{-x-5}=v[/tex]
=> [tex]u^2+v^2=2[/tex] и [tex]u-1<v+uv[/tex]

[martosss]

Тъй като [tex]x\in[-7\: ;\: -5][/tex], то е еквивалентно на
[tex]\sqrt{-x-5}(\sqrt{x+7}+1)-(\sqrt{x+7}+1)+1+1>0[/tex]
[tex](\sqrt{x+7}+1)(\sqrt{-x-5}-1)>-2[/tex]
Сега при [tex]x\in[-7\: ;\: -6]\Right \sqrt{-x-5}\ge 1[/tex], тоест лявата страна е неотрицателна, а дясната е отрицателна, откъдето неравенството е изпълнено за всяко х от този интервал.

От друга страна ако [tex]x\in [-6\: ;\: -5]\Right \begin{tabular}{|1}0\le\sqrt{-x-5}\le 1\\1\le\sqrt{x+7}\le\sqrt{2}\end{tabular}[/tex]

И тук забивам и май ще е добре да следваш горното решение

[martosss]

mkmarinov, би ли довършил решението си?

[martosss]

ох, след някви гадни сметки получих [tex]x\in\left[-7\: ;\: -6+\sqrt{4\sqrt 5-8} \right)[/tex]

Имаш ли отговор на тази задача?

[mkmarinov]

[tex]u-v<1+uv[/tex]
За u-v<0 очевидно е изпълнено ([tex]x \in [-7;-6][/tex]). Повдигаме на квадрат:
[tex]u^2+v^2-2uv<1+(uv)^2+2uv[/tex]
[tex]2-2uv<1+(uv)^2+2uv[/tex]
[tex](uv)^2+4uv-1>0[/tex]; и т.к. uv>0 =>
[tex]uv>-2+\sqrt{5}[/tex]; т.к. и двете страни са положителни повдигаме на квадрат.
[tex]-(x+7)(x+5)>5+4-4\sqrt{5}[/tex]
[tex]-x^2-12x-35>9-4\sqrt{5}[/tex]
[tex]x^2+12x+44-4\sqrt{5}<0[/tex]
[tex](x+6)^2<4\sqrt{5}-8[/tex], т.к. x>-6, то x+6>0
[tex]x+6<\sqrt{4\sqrt{5}-8}[/tex]
[tex]x<-6+...[/tex]
Окончателно:
[tex]x \in [-7; -6+\sqrt{4\sqrt{5}-8}][/tex]

[qwerradi]

Това се казва задача, а?
Браво на нас, и аз получих същия отговор.
Имам още една с такава трудност. Ако някой иска да се пробва?

[Is it black or white?]

Може

[qwerradi]

Ето:

[krainik]

ДС-то е [tex]x\ge7[/tex]. Означаваме [tex]f(x)=\sqrt{x-7}+\sqrt{2x-13}+\sqrt{3x+4}+\sqrt{4x-3}[/tex]. Очевидно f(x) е растяща функция [tex](*)[/tex] (като сума от растящи функции). От друга страна, [tex]f(7)=11(**)[/tex].Сега от [tex](*)[/tex] и [tex](**)[/tex] следва, че [tex]x=7[/tex] е единствено решение

[mkmarinov]

Лявата страна е сбор от растящи функции и расте, а дясната е константа. Равенство имаме в х=7 => за х>7 лявата страна е по-голяма от дясната.