Втори диференциал

[evanescence]

Здрасти, нещо не ми се получава диференцирането. Реших задачата на Мaple и ми изкарва различен краен резултат от моя Можете ли да ми кажете дали грешката ми е в изчисленията или в записа на Maple? . Задачата е:
z=[tex]sqrt{(x^2+y^2)}[/tex]

Aз получавам :
z²=y²/[tex]\sqrt{(x^2+y^2)}^3[/tex]dx² -2xy/[tex]\sqrt{(x^2+y^2)}^3[/tex]dxdy +x²/[tex]\sqrt{(x^2+y^2)}^3[/tex]dy² .
A в Maple:

[Реклама]

[martin.nikolov]

Твоето е вярно. Разликата ви е само в члена пред [tex]dy^2[/tex], който е грешен при сметката на мейпъл-а защото си пропуснала една запетая.

[evanescence]

Оффф а аз цял ден стана се чудя . Мерси!
A и още нещо... как се намира диференциал от z=cos(x.y) ?

[martin.nikolov]

[evanescence]

Аз знам , че по същия начин става ,само че проблема ми е точно в намирането на производните...

[martin.nikolov]

[evanescence]

Спокойно, знам аз как да намирам производни. Просто спецялно тази не знам как става

[s.karakoleva]

По-лесно се диференцира подобна сложна функция, като се представи на дробна степен. Първите производни се намират лесно, а за вторите се използва формулата за диференциране на произведение:

[tex]z=\left(x^2+y^2\right)^{\frac12}[/tex]

[tex]z'_x=\frac12 \left(x^2+y^2\right)^{\frac12-1}\cdot 2x=x\left(x^2+y^2\right)^{-\frac12}[/tex]

[tex]z'_y=\frac12 \left(x^2+y^2\right)^{\frac12-1}\cdot 2y=y\left(x^2+y^2\right)^{-\frac12}[/tex]

[tex]z''_{xx}=1\cdot \left(x^2+y^2\right)^{-\frac12}+x\cdot \left(-\frac12\right) \left(x^2+y^2\right)^{-\frac32}\cdot 2x[/tex]

[tex]z''_{xy}=x\cdot \left(-\frac12\right)\cdot \left(x^2+y^2\right)^{-\frac32}\cdot 2y=-xy\left(x^2+y^2\right)^{-\frac32}[/tex]

[tex]z''_{yy}=1\cdot \left(x^2+y^2\right)^{-\frac12}+y\cdot \left(-\frac12\right) \left(x^2+y^2\right)^{-\frac32}\cdot 2y[/tex]

След това дробните степени пак могат да се запишат като корени.

[s.karakoleva]

Проблемът на всички, които пъшкат над частните производни е:

Трябва да се помни спрямо коя променлива се диференцира в дадения момент! Всички други "букви" и "цифри" в този момент са константи.

Друга важна подробност: Ако се диференцира "самотна" константа, производната и е нула, а ако е умножена с функция, то константата се преписва и се диференцира функцията.

Ето и производните на

[tex]z=\cos xy [/tex]

[tex]z'_x=-\sin (xy)\cdot y [/tex]

[tex]z'_y=-\sin (xy)\cdot x[/tex]

[tex]z''_{xx}=-y\cdot\cos (xy)\cdot y=-y^2\cos xy [/tex]

[tex]z''_{xy}=-\cos (xy)\cdot x\cdot y-\sin (xy)\cdot 1 =-xy\cos xy-\sin xy[/tex]

[tex]z''_{yy}=-x\cdot cos (xy)\cdot x=-x^2\cos xy [/tex]