Истинско уравнение

[r2d2]

За разлика от повечето триг. уравнения, които са измислени, това е от реална геометрична задача.

Решете:

[tex]\sin 20 \sin 40 \sin (80-x) = \sin 10 \sin 30 \sin x[/tex]

Мерките на ъглите са в градуси!

[Реклама]

[r2d2]

Искам да се реши уравнението без геометрия!

Ето и зада4ата по геометрия: http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=10457

Tя пък трябва да се реши без тригонометрия!

[илианко]

[tex]A=sin(10)*sin(30)/sin(20)/sin(40)[/tex]
[tex]sin(80-x)=A*sin(x)[/tex]
[tex]sin(80)*cos(x)-sin(x)*cos(80) = A*sin(x)[/tex]
[tex]sin(80)*cot(x)=A+cos(80)[/tex]
[tex]cot(x)=\frac{A+cos(80)}{sin(80)}[/tex]
[tex]cot(x)=\frac{1}{\sqrt{3}}[/tex]
[tex] x = \frac{\pi}{3} + n\pi[/tex]

[r2d2]

Тази магия не я разбрах!

[martosss]

Полага [tex]\frac{\sin 10\sin30}{\sin20\sin40}=A[/tex] и взема предвид, че [tex]\sin x\ne 0[/tex] Вече как се пресмята не знам, ама нямам и голямо желание да науча

[ганка симеонова]

Ще пусна "решение" с риск r2d2 да ми издърпа ушите
Умножаваме двете страни с [tex]4sin100^\circ [/tex]
И ще ползвам една формула,която е доказвана в сайта и която аз много обичам.

[tex]4sin(60^\circ -x)sinx.sin(60^\circ +x)=sin3x=>[/tex] в нашия случай ще имаме
[tex]4sin20^\circ sin40^\circ sin100^\circ sin(80^\circ -x)=4sin100^\circ sin10^\circ sin30^\circ sinx[/tex]
[tex]sin120^\circ sin(80^\circ -x)=2cos10^\circ sin10^\circ sinx [/tex]
[tex]sin120^\circ sin(80^\circ -x)=sin20^\circ sinx [/tex]
[tex]sin60^\circ sin(80^\circ -x)=sin20^\circ sinx [/tex]

Сега вече е ясно, че [tex]x=60^\circ [/tex] удовлетворява уравнението

[илианко]

[ганка симеонова]

[Mechanismus]

[tex]sin20sin40sin(80-x)=sin10sin30sinx[/tex]

[tex]2sin20sin40sin(80-x)=sin10sinx[/tex]

[tex](cos20-cos60)cos(10+x)=\frac{cos(10-x)-cos(10+x)}{2 }[/tex]

[tex]cos20cos(10+x)-\frac{1}{2 } cos(10+x)=\frac{cos(10-x)}{2 } - \frac{cos(10+x)}{2 } [/tex]

[tex]cos20cos(10+x)=\frac{cos(10-x)}{2 }[/tex]

[tex]2cos20cos(10+x)=cos(10-x)[/tex]

[tex]cos(10-x)+cos(30+x)=cos(10-x)[/tex]

[tex]cos(30+x)=0[/tex]

[tex]x=\frac{\pi }{3 } + 2k\pi[/tex] , [tex]k\in Z[/tex]

Извинете за грешката на последня ред. Оправих я.

[ганка симеонова]

[r2d2]

Моето решение е подобно на това на Мех.., но решението на Ганка заслужава да се запомни!