Кандидатстудентска тема

[Spider Iovkov]

Ще пусна още една тема с решени кандидатстудентски задачи (този път темата не съм я съставял аз, а я намерих в нет пространството, но съм добавил някои задачи). Дано е полезна за всички, които ще полагат кандидатстудентски изпити, .

УСЛОВИЯ
Задача 1. Решете неравенството [tex]x^4-10x^2+16\ge 0[/tex].
Задача 2. Решете уравнението [tex]5^{-\frac{x}{3}}-5^{-x}=4.5^{-\frac{2x}{3}-\frac{1}{2}}[/tex].
Задача 3. Решете уравнението [tex]\log_{5}(\frac{x^3}{\sqrt{5}})=\frac{1}{2}+\frac{\log_{5}x}{\log_{3}(\frac{1}{\sqrt{x}})}[/tex].
Задача 4. Пресметнете [tex]\sqrt{2}(\frac{1}{sin^3\alpha}-\frac{1}{cos^3\alpha})[/tex], ако [tex]sin\alpha - cos\alpha = -\frac{1}{\sqrt{2}}[/tex].
Задача 5. Решете уравнението [tex]3^{sin x - 1}=(\frac{1}{81})^{\frac{1}{sin x}}[/tex].
Задача 6. За аритметична прогресия пресметнете [tex]S_{9}[/tex], ако [tex]a_{3}+a_{7}=10[/tex].
Задача 7. За геометрична прогресия пресметнете [tex]b_{4}[/tex], ако [tex]b_{1}+b_{4}=35[/tex] и [tex]b_{2}+b_{3}=30[/tex].
Задача 8. Решете неравенството [tex]\sqrt{x+3}>x+1[/tex].
Задача 9. Решете неравенството [tex]|2x-|x-2||<3[/tex].
Задача 10. Пресметнете лицето на [tex]\triangle ABC[/tex] с върхове [tex]A(2;5), B(5;2), C(5;10)[/tex].
Задача 11. В правилна четириъгълна пирамида ъглите между околна стена и основа и между две съседни околни стени са равни съответно на [tex]\alpha[/tex] и [tex]\beta[/tex]. Да се докаже, че [tex]cos \beta = - cos^2\alpha[/tex].

РЕШЕНИЯ
Задача 1. Нека [tex]x^2=u, u\ge 0[/tex]. Тогава даденото неравенство е равносилно с [tex]u^2-10u+16\ge 0 \Leftrightarrow (u-2)(u- 8 )\ge 0 \Leftrightarrow (x^2-2)(x^2 - 8 )\ge 0[/tex]. По метода на интервалите определяме [tex]x\in (-\infty;-2\sqrt{2}]\cup [-\sqrt{2};\sqrt{2}]\cup [2\sqrt{2};+\infty)[/tex].
Задача 2. Преобразуваме даденото уравнение: [tex]\frac{1}{(5^x)^{\frac{1}{3}}}-\frac{1}{5^x}=\frac{4}{5^{\frac{1}{2}}(5^x)^{\frac{2}{3}}}[/tex]. Полагаме [tex]5^x=u, u>0 \Rightarrow \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}}-\frac{1}{u}=\frac{4}{\sqrt{5}u^{\frac{2}{3}}} \Leftrightarrow u^{\frac{2}{3}}\sqrt{5}-\sqrt{5}=4u^{\frac{1}{3}}[/tex].
Въвеждаме [tex]u^{\frac{1}{3}}=v \Rightarrow v^2\sqrt{5}-4v-\sqrt{5}=0 \Leftrightarrow v_{1,2}=\frac{4 \pm 6}{2\sqrt{5}} \Leftrightarrow v_{1}=\sqrt{5}, v_{2}=-\frac{\sqrt{5}}{5}; v_{1}\in D.O._{v}, v_{2}\cancel \in D. O._{v}[/tex]. Оттук лесно достигаме до [tex]u^{\frac{1}{3}}=\sqrt{5} \Leftrightarrow \sqrt[3]{u}=\sqrt{5} \Leftrightarrow u=(\sqrt{5})^3 \Leftrightarrow u=5\sqrt{5} \Rightarrow 5^x=5\sqrt{5} \Leftrightarrow 5^x=5^{\frac{3}{2}} \Leftrightarrow x=\frac{3}{2}[/tex].
Задача 3. От [tex]\log_{5}(\frac{x^3}{\sqrt{5}})=\frac{1}{2}+\frac{\log_{5}x}{\log_{3}(\frac{1}{\sqrt{x}})} \Rightarrow D.O._{x}: \begin{array}{||}x>0 \\ \log_{3}(\frac{1}{\sqrt{x}}) \neq 0 \end{array} \Leftrightarrow x>0, x\neq 1[/tex]. Използваме свойствата на логаритмите и последователно преобразуваме уравнението:
[tex]\log_{5}x^3-\log_{5}\sqrt{5}=\frac{1}{2}+\frac{\log_{5}x}{\log_{3}1-\log_{3}\sqrt{x}} \Leftrightarrow 3\log_{5}x-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{\log_{5}x}{-\frac{1}{2}\log_{3}x} \Leftrightarrow 3\log_{5}x-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}-\frac{\log_{5}x}{\frac{1}{2}\log_{3}x} \Leftrightarrow 3\log_{5}x-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}-\frac{\log_{5}x}{\frac{1}{2}.\frac{\log_{5}x}{\log_{5}3}} \Leftrightarrow [/tex]
[tex]3\log_{5}x-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}-2\log_{5}3 \Leftrightarrow 3\log_{5}x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-2\log_{5}3 \Leftrightarrow 3\log_{5}x=1-2\log_{5}3 \Leftrightarrow 3\log_{5}x=\log_{5}5-\log_{5}3^2 \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 3\log_{5}x=\log_{5}\frac{5}{9} \Leftrightarrow \log_{5}x^3=\log_{5}\frac{5}{9} \Leftrightarrow x^3=\frac{5}{9} \Leftrightarrow x=\sqrt[3]{\frac{5}{9}}, x\in D.O._{x}[/tex].
Задача 4. Преобразуваме: [tex]\frac{\sqrt{2}(cos^3\alpha-sin^3\alpha)}{( sin\alpha cos\alpha )^3}=\frac{-\sqrt{2}(sin^3\alpha-cos^3\alpha)}{( sin\alpha cos\alpha )^3}=\frac{-\sqrt{2}( sin\alpha - cos\alpha )(sin^2\alpha + sin\alpha cos\alpha + cos^2\alpha)}{( sin\alpha cos\alpha )^3}=\frac{-\sqrt{2}( sin\alpha - cos\alpha )(1+ sin\alpha cos\alpha )}{( sin\alpha cos\alpha )^3} \, (*)[/tex].
От [tex]sin\alpha - cos\alpha =-\frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow ( sin\alpha - cos\alpha )^2=(-\frac{1}{\sqrt{2}})^2 \Leftrightarrow sin^2\alpha - 2 sin\alpha cos\alpha + cos^2\alpha =\frac{1}{2} \Leftrightarrow 1-2 sin\alpha cos\alpha =\frac{1}{2} \Leftrightarrow sin\alpha cos\alpha = \frac{1}{4}[/tex]. Заместваме в [tex](*)[/tex] и получаваме [tex][-\sqrt{2}(-\frac{1}{\sqrt{2}})(1+\frac{1}{4}) ] : ( \frac{1}{4})^3=\frac{5}{\cancel 4}.\cancel 4.4^2= 8 0 [/tex].
Задача 5. [tex]3^{ sin x -1 }=(\frac{1}{81})^{\frac{1}{sin x}} \Leftrightarrow 3^{ sin x -1 }=(3^{-4})^{\frac{1}{sin x}} \Leftrightarrow sin x - 1=-\frac{4}{ sin x } \Leftrightarrow sin^2x - sin x +4=0[/tex], откъдето уравнението няма решения.
Задача 6. От свойството на аритметичната прогресия имаме [tex]a_{1}+a_{9}=a_{2}+a_{8}=a_{3}+a_{7}=a_{4}+a_{6}=10[/tex]. Но [tex]a_{3}+a_{7}=10 \Leftrightarrow a_{1}+2d+a_{a}+6d=10 \Leftrightarrow 2a_{1}+8d=10 \Leftrightarrow a_{1}+4d=5 \Leftrightarrow a_{5}=5[/tex]. Тогава [tex]S_{9}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}+a_{8}+a_{9}=45[/tex].
Задача 7. Образуваме системата [tex]\begin{array}{||}b_{1}+b_{4}=35 \\ b_{2}+b_{3}=30 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{||}b_{1}+b_{1}q^3=35 \\ b_{1}q+b_{1}q^2=30 \end{array} \Rightarrow \frac{\cancel {b_{1}} (1+q^3)}{\cancel {b_{1}} (q+q^2)}=\frac{7.\cancel 5}{6.\cancel 5} \Leftrightarrow \frac{\cancel {(1+q)}(1-q+q^2)}{q \cancel {(1+q)}}=\frac{7}{6} \Rightarrow 6q^2-13q+6=0 \Leftrightarrow q_{1}=\frac{3}{2}, q_{2}=\frac{2}{3} \Rightarrow b_{1}=8[/tex] или [tex]b_{1}=27[/tex], откъдето [tex]b_{4}=27[/tex] или [tex]b_{4}=8[/tex].
Задача 8. От [tex]\sqrt{x+3}>x+1 \Rightarrow x+3\ge 0 \Leftrightarrow x\ge -3[/tex].
Разглеждаме два случая:
І случай. [tex]x+1<0 \Leftrightarrow x<-1 \Rightarrow \foral x\in D. O.[/tex] е решение [tex]\Rightarrow x\in [-3;-1)[/tex];
ІІ случай. [tex]x+1\ge 0 \Leftrightarrow x\ge -1 \Rightarrow x+3>(x+1)^2 \Leftrightarrow (x-1)(x+2)<0 \Leftrightarrow x\in (-2;1) \Rightarrow x\in [-1;1)[/tex].
Обединението на двата случая дава и отговора: [tex]x\in [-3;1)[/tex].
Задача 9. Лявата страна на неравенството е неотрицателна, а дясната е положителна, ето защо можем да повдигнем на втора степен, получаваме [tex](2x-|x-2|)^2<3^2 \Leftrightarrow (2x-|x-2|)^2-3^2<0 \Leftrightarrow (2x-|x-2|+3)(2x-|x-2|-3)<0[/tex].
І случай. [tex]x-2\ge 0 \Leftrightarrow x\ge 2 \Rightarrow (2x-x+2+3)(2x-x+2-3)<0 \Leftrightarrow (x+5)(x-1)<0[/tex], което няма никакви решения в разглеждания интервал.
ІІ случай. [tex]x-2<0 \Leftrightarrow x<2 \Rightarrow (2x+x-2+3)(2x+x-2-3)<0 \Leftrightarrow (3x+1)(3x-5)<0 \Leftrightarrow x\in (-\frac{1}{3};\frac{5}{3})[/tex].
Задача 10. Ако [tex]M(\alpha_{1};\beta_{1})[/tex] и [tex]N(\alpha_{2};\beta_{2})[/tex] са две точки, зададени с координатите си, то разстоянието [tex]MN[/tex] между тях се дава с израза [tex]MN=\sqrt{(\alpha_{2}-\alpha_{1})^2+(\beta_{2}-\beta_{1})^2}[/tex]. Тогава имаме:
[tex]* \, AB=\sqrt{(5-2)^2+(2-5)^2}=\sqrt{3^2+(-3)^2}=3\sqrt{2}[/tex];
[tex]* \, BC=\sqrt{(10-2)^2+(5-5)^2}=\sqrt{8^2}=8[/tex];
[tex]* \, AC=\sqrt{(10-5)^2+(5-2)^2}=\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}[/tex].
Лицето пресмятаме по формулата [tex]S=\frac{1}{4}\sqrt{-a^4-b^4-c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2}[/tex] (която е удобна, когато поне две от страните на триъгълник са с дължини ирационални числа). Оттук [tex]S_{\triangle ABC}=12[/tex].
Задача 11. Построяваме [tex]QK\bot BC[/tex]. От теоремата за трите перпендикуляра [tex]OK\bot BC \Rightarrow \angle OKQ=\alpha[/tex]. Всички околни стени са еднакви триъгълници, откъдето височините през върховете [tex]A[/tex] и [tex]C[/tex] към околния ръб [tex]DQ[/tex] ще имат обща пета [tex]T[/tex]. Тогава [tex]\angle ATC=\beta[/tex]. И понеже [tex]AT=CT[/tex], то [tex]\angle ATO=\angle CTO=\frac{\beta}{2}[/tex]. Нека [tex]QO=h, AQ=BQ=CQ=DQ=b, BK=CK=a \Rightarrow AB=BC=CD=AD=2a[/tex].
От [tex]\triangle KOQ \Rightarrow cos\alpha =\frac{a}{\sqrt{a^2+h^2}} \, (*)[/tex]. Но [tex]CTb=2a\sqrt{a^2+h^2}[/tex] (от формулата за лицето). Тогава [tex]CT=\frac{2a\sqrt{a^2+h^2}}{b}[/tex]. От [tex]\triangle ATO \Rightarrow cos{\frac{\beta}{2}}=\frac{TO}{CT} \Leftrightarrow cos{\frac{\beta}{2}}=\frac{h}{2}\sqrt{\frac{2}{a^2+h^2}} \Rightarrow cos\beta = -\frac{a^2}{a^2+h^2} \, (**)[/tex].
От [tex](*)[/tex] и [tex](**)[/tex] следва желаното твърдение.

[Реклама]

[_sssss]

Можеше да оставиш първо да се помъчим сами.

Имам малко по-просто предложение за 10.

[tex]\normal BC \perp x \Rightarrow h_{BC}=5-2=3\\ BC=10-2=8 \\ S_{ABC}=\frac{3*8}{2}=12[/tex]

[Spider Iovkov]

Темата е отворена и всеки може да я продължи, . Ако искаш, пусни и ти темичка, но без решенията, само с условия, .

[NoThanks]

Най-големият си, баце! Тлъст респект

[_sssss]

Една интересна задачка и от мен.

Разглеждаме всички квадратни функции [tex]x^2 + px +q[/tex], такива, че графиките им да
се допират до абсцисната ос и до графиката на линейната функция [tex]y=\frac{4}{3}x + 8[/tex]. Да се
намерят всички възможни стойности на [tex]p[/tex] и [tex]q[/tex].

[ганка симеонова]

[martin.nikolov]

[_sssss]

И аз получавам толкова. Знам, че те сърбят пръстите, но недей да пускаш решение засега. Задачата е за "кандидат-пустиняци".

[martin.nikolov]

[Is it black or white?]

[_sssss]

Моето решение е малко по-гнусно.
[tex]\normal D=0 \rightarrow p^2=4q[/tex]
И допирателната [tex]\normal t(u)[/tex] да съвпада с [tex]\frac{4}{3}x + 8[/tex]
[tex]\normal (2u+p)x - u^2 + q\equiv \frac{4}{3}x + 8 \\ \begin{tabular}{||}2u+p = \frac{4}{3} \\ -u^2 + q = 8 \\ p^2=4q\end{tabular}[/tex]