Правоъгълен

[Methuselah]

Имам малко затруднения по следната задача...
Външно за АВС е построен квадрат АВМN (<С=90) С е съединена с М и N,
CM пресича АВ в т. Р а СN в т. Q.
Докажете че AQ.BP=QP²

[Реклама]

[Titu_Andrescu]

Хубава задача. Нека BC и MN се пресичат в точка R и AC и MN - в точка S. Нека AB=c, AC=b, BC=a, CS=x и CR=y. От подобни триъгълници следва, че SN=bc/a и RM=ac/b.
▲ACQ~▲SCN : AQ=b²c/ax
▲BPC~▲RMC : BP=a²c/by
▲CPQ~▲CMN : PQ/MN=CQ/QN=CP/CM=b/x=a/y или PQ=bc/x=ac/y.

Следователно: AQ.BP=abc²/xy=(bc/x).(ac/y)=PQ².

[Methuselah]

Мерси много!!!
Искам да пусна една задача на която знам решението но ми е интересно как бихте я решили вие:
Отново правоъгълен ▲ с прав ъгъл при С;
AC=BC ; На хипотенузата са подредени последователно точките А, M, N и В така че АМ² + BN² = MN² . Намерете ъгъл МСN.

[Methuselah]

Май никой не е впечатлен.... ?

[Lubo]

Въпреки, че съм излязал отдавна от възрастовата група на 11-12 клас, Кандидат студенти, искам да предложа един вариант на решение на тази хубава задача.



Любо

[DevilFighter]

Първата задача може да стане и по друг начин, като спуснем височината на триъгълника от т.C