задача3

[anelia_ilieva]

опростете
a²/(a-b)(a-c)+b²/(c-b)(a-b)-c²/(a-c)(c-b)

[Реклама]

[martin.nikolov]

[krainik]

Положи [tex]a=0[/tex], после [tex]b=0[/tex] и [tex]c=0[/tex], и понеже изразът отляво е най-много от 2-ра степен, а се получават при 3 различни стойности еднаква стойност -1, то изразът е тъждество

[martosss]

[krainik]

Ако означиш [tex]f(x)[/tex] лявата страна, то [tex]deg f(x)\le2 [/tex]. Не мога да ти кажа в случая дали има равенство, но е важното, че степента му не е превишава 3-та степен.

[anelia_ilieva]

няма ли по лесно решение?

[martin.nikolov]

[martin.nikolov]

[krainik]

Добре, не го написах ясно, пък и по всяка вероятност не е вярно. Та, гледаме лявата страна като функция на [tex]a[/tex]. Ако не се лъжа, всъщност функцията е линейна и понеже при [tex]b=0[/tex] и [tex]c=0[/tex] получаваме една и съща стойност - то лявата страна е тъждествено равна на 1.

[martin.nikolov]

[krainik]

Аха, ясно. Моя е грешката

[martosss]

е добре, ако се гледа спрямо а нали имаме a² знаменател и a² в числител и би трябвало да не е от 3-та степен(най-много втора) Или след като се преведе под общ знаменател се получава в числител трета степен

[krainik]

Нищо не мога да ти разбера, съжалявам. Обясни го по-ясно.

[r2d2]

Tеорема: Нека p(x) e полином от степен <=2, тогава:

[tex]p(x)=\frac {(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}p(a)+\frac {(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)}p(b)+\frac {(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}p(c)[/tex]

Д-во: Лесно се проверява, че лявата и дясната страна имат равни стойности за три точки: [tex]x=a,\;x=b,\;x=c,\;[/tex] т.е. те са тъждествено равни.

Остава да приложим теоремата за [tex]p(x)=1[/tex].

За повече подробности - "интерполационен полином на Лагранж".

[martin.nikolov]

[r2d2]

Ми, не знам! Нещо съм се (по)бъркал!

[martin.nikolov]

[martosss]

А.... да не би да се има предвид, че ако този израз е от 2-ра степен, то все едно имаме f(x)=ax²+bx+c, и сега като проверим за 3 различни стойности на х и получим равни стойности за f, то х е права, защото не може да се "изкриви", така че хем да е от 2-ра степен, хем да мине 3 пъти през една и съща стойност.... така ли?

r2d2, може ли да обясниш в случая p(x) на колко е равен?

[krainik]

Мартине, какви са тия глупости дето ги пишеш? Права, която да се изкриви.. wtf?

[martosss]

е ми функцията по принцип е крива... и щом е от втора степен, то тя е някаква парабола... но параболата може да пресича дадена права в най-много 2 точки, щом има 3 такива точки, които тази функция приема за различни стойности на аргумента, то функцията не е парабола, а е права, тоест е линейна и е константа, в случая -1.

[martin.nikolov]

[martosss]

А в случая как се определя степента на полинома, като не само че имаме и в занеменател променливи, ами и са цели 3 на брой?

[martin.nikolov]

[ганка симеонова]

След привеждане под ОЗ и разкриване на скобите, в числител имаме
[tex]a^2c-a^2b+b^2a-b^2c-c^2a+c^2b=c^2(b-a)-c(b-a)(b+a)+ab(b-a)= [/tex]
[tex]=(b-a)(c^2-(b+a)c+ab)=(b-a)(c-a)(c-b) [/tex]
Тогава дробта ще има вида [tex]\frac{(b-a)(c-a)(c-b)}{(a-b)(a-c)(c-b) }=1 [/tex]

[krainik]

Това, отдавна беше казано. Търсехме и друго по-красиво решение...

[ганка симеонова]

[krainik]

Щом темата се е превърнала в спам - дай да поспамя малко. Някак си не подхожда на жена на Вашата възраст(че и учител) да пише толкова неграмотно... Нищо лично, ама праскате запетаи, където Ви падне.Не казвам, че съм с перфектна пунктуация, но все пак се старая!

[ганка симеонова]

[ганка симеонова]

[krainik]

Казах го с приятелски тон, но явно си доста тънкообидна... Тогава проблемът е в твоя телевизор
ПП Относно това "леко противоречие"- казах го с цел, че не всички сме безгрешни, но все пак, когато някой допуска голямо количество грешки - по-добре е да му се каже, отколкото да се премълчи, нали?