Проблем със задача от примерна тема в СУ

[qbox]

Здавейте, имам проблем с една задача. Не мога да я реша каквото и да опитват(граници, сравнения и т.н.). Та задачата е следната:
Да се докаже, че за всяко x [tex]\in (0;\frac{\pi }{2}) [/tex] са в сила неравенствата:
[tex]\frac{3cosx}{1+2cosx }<\frac{sinx}{x}<\frac{3}{4-cosx} [/tex]
Идеи? Благодаря на всички, които ще ми обърнат внимание.

[Реклама]

[NoThanks]

Едит: виж по-долу

[NoThanks]

Опа, значи б) си е вярно така и си излиза, обаче на а) не става номера с това неравенство. Сега ще си го видя пак

[qbox]

а защо 3+cosx=4 ??? - б)

[NoThanks]

Не е равно, а по-малко (<) защото 0<cosx<1

[qbox]

ми тогава, не трябва ли израза да е така: [tex]4sinx-x(3+cosx)>4sinx-4x[/tex]

[NoThanks]

Разгеле! Нека [tex]k(x)=\frac{sinx}{x} => k'(x)=\frac{xcosx-sinx}{x^2}[/tex] От друга страна знаем, че в разглеждания интервал [tex]sinx<x<tgx \Leftrightarrow \frac{sinx}{x}<1<\frac{tgx}{x}[/tex] => [tex]\frac{sinx}{x}>\frac{sinx}{tgx}=cosx => sinx>xcosx => k'(x)<0[/tex] откъдето тази ф-я е намаляваща. Получаваме, че НМС е за [tex]k->\pi/2 \; \; k(pi/2) = 2/pi [/tex] и НГС за k->0 [tex]\lim_{k\to 0} = 1[/tex] тогава [tex]\frac{2}{\pi}<\frac{sinx}{x}<1[/tex] Остава да докажем [tex]\frac{2}{\pi}>\frac{3cosx}{1+2cosx}[/tex] тъй като знаменателите са >0 умножаваме на кръст и остава да покажем [tex]h(x)=2+4cosx>3\pi cosx \Leftrightarrow 2+4cosx-3\pi cosx >0 => h'(x)=-4sinx+3\pi sinx >0[/tex] => h(x) расте и НМС за h(0)=2>0 => доказано.
[tex]\frac{sinx}{x}<\frac{3}{4-cosx} \Leftrightarrow g(x)=4sinx - \frac{sin2x}{2} -3x <0 => g'(x) = 4cosx-cos2x-3 = 4cosx-2cos^2x-2 = -2(cosx-1)^2 <0[/tex] => g(x) е винаги намаляваща => НГС g(0)=0(0 не е допустиме ст-т и равенството не е изпълнено) => доказано.
Измъчи ме тая тъпа задача

[илианко]

НГС на g(x) e при x->0

[NoThanks]