Задачи върху преобразуване на тригонометрични изрази

[slavena]

Здр мн ви се моля ако някои знае как ще станат следните задачи да пише.Благодаря предварително.
1 зад. Докажете,че ако \alpha \beta \gamma са ъгли в триъгълник, то:
а) tg\alpha * tg\beta *tg\gamma = tg\alpha +tg\beta +tg\gamma ;
б) tg\alpha /2 * tg \beta /2 + tg \gamma /2 *tg \beta /2+tg\gamma /2 * tg\alpha /2=1

2 зад. Докажете,че ако за ъглите \alpha ,\beta и \gamma на един триъгълник е изпълнено sin\alpha = cos \beta + cos\gamma ,то той е правоъгълен.

3 зад. Докажете,че ако за ъглите \alpha ,\beta и \gamma на един триъгълник и sin\gamma =2sin\alpha * cos\beta ,то триъгълникът е равнобедрен.

4 зад. Докажете , че ако \alpha , \beta и \gamma са ъгли на триъгълник и sin\gamma =4sin\alpha /2*cos\beta /2*sin\gamma /2 ,то триъгълникът е равнобедрен.

5 зад.Намерете страните на равнобедрен триъгълник по дадени полупериметър p и ъгъл между бедрата \alpha .

6 зад. Намерете основите на описан около окръжност равнобедрен трапец по дадени ъгъл при голямата основа \alpha и радиус на вписаната окръжност R.

7 зад. Намерете лицето на равнобедрен триъгълник по дадени основа 2а и радиус на вписаната окръжност r.

[Реклама]

[mania_vd]

погледни темата преди твоето запитване - да докажем че триъгълника е правоъгълен - там е решена търсената от теб зад.2

[Spider Iovkov]

Задача 1, а). http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=2310
Задача 2. http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?p=64362&highlight=#64362
Задача 3. Трябва да докажем, че ако [tex]sin\gamma = 2 sin\alpha cos\beta \, (*)[/tex], то триъгълникът е равнобедрен. Използваме, че [tex]\gamma=180^\circ-(\alpha+\beta) \Rightarrow sin\gamma = sin[180^\circ-(\alpha+\beta)] = sin(\alpha+\beta)[/tex]. Заместваме в [tex](*)[/tex] и получаваме:
[tex]sin(\alpha+\beta) = 2 sin\alpha cos\beta \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow sin\alpha cos\beta + cos\alpha sin\beta = 2 sin\alpha cos\beta \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow sin\alpha cos\beta = cos\alpha sin\beta |: cos\alpha \Rightarrow \frac{sin\alpha}{cos\alpha} cos\beta = sin\beta |:cos\beta \Rightarrow \frac{sin\alpha}{cos\alpha}=\frac{sin\beta}{cos\beta} \Leftrightarrow \tan\alpha = \tan\beta[/tex].
Задача 4. Очевидно [tex]\gamma=180^\circ-(\alpha+\beta) |:2 \Rightarrow \frac{\gamma}{2}=90^\circ-\frac{\alpha+\beta}{2}[/tex]. Преобразуваме тъждеството:
[tex]sin\gamma = 4 sin{\frac{\alpha}{2}} cos{\frac{\beta}{2}} sin{\frac{\gamma}{2}} \Leftrightarrow \cancel 2 \cancel {sin{\frac{\gamma}{2}}} cos{\frac{\gamma}{2}} = \cancel 2.2 sin{\frac{\alpha}{2}} cos{\frac{\beta}{2}} \cancel {sin{\frac{\gamma}{2}}} \Leftrightarrow 2 sin{\frac{\alpha}{2}} cos{\frac{\beta}{2}} = cos{\frac{\gamma}{2}}[/tex].
Но [tex]cos{\frac{\gamma}{2}} = cos(90^\circ-\frac{\alpha+\beta}{2}) = sin{\frac{\alpha+\beta}{2}}[/tex]. Тогава, замествайки в тъждеството, получаваме
[tex]2 sin{\frac{\alpha}{2}} cos{\frac{\beta}{2}} = sin{\frac{\alpha+\beta}{2}} \Leftrightarrow 2 sin{\frac{\alpha}{2}} cos{\frac{\beta}{2}} = sin{\frac{\alpha}{2}} cos{\frac{\beta}{2}} + cos{\frac{\alpha}{2}} sin{\frac{\beta}{2}} \Leftrightarrow sin{\frac{\alpha}{2}} cos{\frac{\beta}{2}} = cos{\frac{\alpha}{2}} sin{\frac{\beta}{2}} \Leftrightarrow \tan{\frac{\alpha}{2}} = \tan{\frac{\beta}{2}}[/tex].
Задача 5. Намираме, че [tex]\angle ABC=\angle BAC=90^\circ-\frac{\alpha}{2}[/tex]. Означаваме [tex]AC=BC=x[/tex], тогава [tex]AB=p-2x[/tex]. От синусовата теорема [tex]\Rightarrow \frac{p-2x}{sin\alpha}=\frac{x}{sin(90^\circ-\frac{\alpha}{2})} \Leftrightarrow \frac{p-2x}{sin\alpha}=\frac{x}{cos{\frac{\alpha}{2}}} \Leftrightarrow \frac{p-2x}{2 sin{\frac{\alpha}{2}}}=x \Leftrightarrow 2x sin{\frac{\alpha}{2}} +2x=p \Leftrightarrow x=\frac{p}{2(1+ sin{\frac{\alpha}{2}} )}[/tex]. Оттук страните лесно се намират.
Задача 6. Построяваме [tex]DD_{1}\bot AB, CC_{1}\bot AB[/tex]. Тогава [tex]DD_{1}=CC_{1}=h=2R[/tex]. От [tex]\triangle AD_{1}D \Rightarrow AD=BC=\frac{2R}{sin\alpha}, AD_{1}=BC_{1}=2R \cot\alpha[/tex]. Ако [tex]CD=C_{1}D_{1}=x[/tex], то [tex]4R \cot\alpha + 2x = \frac{4R}{sin\alpha} \Leftrightarrow 2R \cot\alpha + x = \frac{2R}{sin\alpha} \Leftrightarrow x=\frac{2R}{sin\alpha}-\frac{2R cos\alpha}{sin\alpha} \Leftrightarrow x=\frac{2R(1- cos\alpha )}{sin\alpha} \Leftrightarrow x=2R \tan {\frac{\alpha}{2}}[/tex]. И оттук се определят основите.
Задача 7. Построяваме [tex]CT\bot AB[/tex]. Тогава центърът на вписаната окръжност [tex]I\in CT[/tex] и [tex]IT=r[/tex], а [tex]AT=BT=a[/tex]. Нека [tex]\angle TAI=\angle TAC=\alpha[/tex], тогава [tex]\angle TAC=2\alpha[/tex]. От [tex]\triangle TAI \Rightarrow sin\alpha=\frac{r}{\sqrt{a^2+r^2}}, cos\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+r^2}}[/tex], откъдето [tex]sin2\alpha = 2 sin\alpha cos\alpha \Leftrightarrow sin2\alpha = \frac{2ar}{a^2+r^2} \Rightarrow cos2\alpha=\frac{(a+r)(a-r)}{a^2+r^2} \Rightarrow \tan2\alpha=\frac{2ar}{(a+r)(a-r)}[/tex]. От [tex]\triangle ATC \Rightarrow \tan2\alpha=\frac{CT}{AT} \Leftrightarrow CT=AT \tan2\alpha \Leftrightarrow CT=\frac{2a^2r}{(a+r)(a-r)}[/tex]. Оттук лицето е ясно.

[slavena]

Благодаря много.