Регистрирайте сеРегистрирайте се

Лица


 
   Форум за математика Форуми -> Математика за 11-12 клас, Кандидат-студенти
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
inimitably
Редовен


Регистриран на: 13 Nov 2008
Мнения: 102

Репутация: 37.9Репутация: 37.9Репутация: 37.9Репутация: 37.9
гласове: 25

МнениеПуснато на: Mon Jun 15, 2009 4:52 pm    Заглавие: Лица

Даден е [tex]\triangle ABC[/tex].Ъглополовящата на [tex]\angle ACB[/tex] пресича описаната окръжност около триъгълника в точка [tex]L[/tex].Симетралите на [tex]AC[/tex] и [tex]BC[/tex] пресичат [tex]CL[/tex] съответно в [tex]P[/tex] и [tex]Q[/tex].Ако [tex]M[/tex] и [tex]N[/tex] съответно са средите на [tex]AC[/tex] и [tex]BC[/tex] докажете , че [tex]S_{\triangle MPL}=S_{\triangle QNL}[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
NoThanks
Гост






МнениеПуснато на: Mon Jun 15, 2009 6:23 pm    Заглавие:

Първо да се извиня, че чертежът стана толкова тежък Smile Имаме, че Q лежи на ъглополовящата => [tex]QN=QT \perp AC => \frac{MP}{QN}=\frac {CP}{CQ}[/tex] . Нeка [tex]LL_{2} \perp MP \; LL_{1} \perp QN[/tex] От симетралите имаме равнобедрени триъгълници и съответни външни ъгли + ъгли с равни дъги. Имаме и LL2 ||AC ; LL1 ||BC .Тогава [tex]\triangle{PLL2}\equiv \triangle{MPC} \; \triangle{QLL1}\equiv \triangle{QNC}[/tex] => [tex]LL_{1}=\frac{BC.QL}{2QC} \; LL_{2}=\frac{AC.PL}{2PC}[/tex] => [tex]\frac{S_{MPL}}{S_{NQL}}=\frac{MP.LL_{2}}{NQ.LL_{1}}=\frac{AC.PL}{BC.QL}[/tex] Но имаме и [tex]\triangle{APL}\equiv \triangle{ABC}[/tex] => [tex]\frac{PL}{AC}=\frac{AL}{AB}[/tex] ; ▲BQL≈ABC => [tex]\frac{QL}{AC}=\frac{BC}{AB} => \frac{PL}{BC}.\frac{AC}{AL}=\frac{S_{MPL}}{S_{NQL}}=\frac{AB}{AL}.\frac{AL}{AB}=1 => OK[/tex]
П.П дано се разбира точно защо са равни съответните ъгли и защо са подобни триъгълниците, защото повечето неща съм ги правил по чертежа, а и да се изразяват разните му ъгли във форума е малко длъжко. Ако нещо не се разбира, питайте Smile
П.п2 а дано съм написал и точните подобни триъгълници, че на листа не съм си записвал кои са подобни, а само резултата и настана леко объркване. Very Happy



kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk.png
 Description:
 Големина на файла:  46.03 KB
 Видяна:  1169 пъти(s)

kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk.png


Върнете се в началото
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Mon Jun 15, 2009 7:23 pm    Заглавие:

Браво, макар да тръгнах по друг път, пак стигнах до [tex]\frac{S_{LPM}}{S_{LNQ}}=\frac{AC*PL}{BC*LQ}[/tex] и това тъкмо се чудех как да го постигна, но ти ми показа верния път. Razz
Иначе само с лица работя:
[tex]\frac{S_{LMP}}{S_{LNQ}}=\frac{S_{LMC}-S_{MPC}}{S_{LNC}-S_{QNC}}[/tex].
Сега използвайки, че
[tex]S_{LMC}=\frac{MC}{NC}S_{LNC}[/tex]
и
[tex] S_{MPC}=\frac{MC*PC}{CN*QC}*S_{NQC}[/tex]

получаваме [tex]\frac{S_{LMP}}{S_{LNQ}}=\frac{\frac{MC}{NC}S_{LNC}-\frac{MC*CP}{CN*CQ}*S_{NQC}}{S_{LNC}-S_{QNC}}=\frac{\frac{MC}{NC}\left(S_{LNC}-\frac{CP}{CQ}*S_{NQC}\right)}{S_{LNC}-S_{QNC}}[/tex]
Сега [tex]S_{LNC}=\frac{LC}{QC}S_{QCN}[/tex]
Става
[tex]\fbox{\frac{S_{LMP}}{S_{LNQ}}=\frac{\frac{MC}{CN}\left(\frac{LC}{QC}-\frac{CP}{CQ}\right)}{\frac{LC}{CQ}-1}=\frac{MC}{CN}*\frac{LP}{LQ}=\frac{AC*LP}{BC*LQ}}[/tex] Wink
Сега остава да, забележим, че [tex]\Del ALP\approx \Del ABC, \Del LBQ\approx \Del ABC\Right PL=\frac{BC*AL}{AB},LQ=\frac{AC*LB}{AB}\Right \fbox{\frac{LP}{LQ}=\frac{BC}{AC}}[/tex]

Получихме [tex]\frac{S_{LMP}}{S_{LNQ}}=\frac{AC}{BC}*\frac{LP}{LQ}=\frac{AC}{BC}*\frac{BC}{AC}=1\Right [/tex] двете лица са равни.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
inimitably
Редовен


Регистриран на: 13 Nov 2008
Мнения: 102

Репутация: 37.9Репутация: 37.9Репутация: 37.9Репутация: 37.9
гласове: 25

МнениеПуснато на: Tue Jun 16, 2009 5:18 pm    Заглавие:

Да, основното беше да докажете [tex]\frac{\overline{LP} }{\overline{QL} }=\frac{\overline{BC} }{ \overline{AC} }=\frac{\overline{CQ} }{\overline{CP} } [/tex]

Може да се докаже с малко тригонометрия Laughing

Нека [tex]O[/tex] е център на описаната окръжност.Тогава от [tex]\triangle LOP[/tex] и [tex]\triangle QOL[/tex] по синусова теорема имаме:

[tex]PL=Rsin\alpha cos{\frac{\gamma }{2 }}[/tex] и [tex]LQ=Rsin\beta cos{\frac{\gamma }{ 2}}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\frac{\overline{PL} }{ \overline{LQ} }=\frac{sin\alpha }{sin\beta }=\frac{\overline{BC} }{ \overline{AC} }[/tex]

[tex]\frac{S_{\triangle LQN}}{S_{\triangle QNC} }=\frac{\overline{LQ} }{ \overline{QC} } [/tex] (1); [tex]\frac{S_{\triangle MPL}}{S_{\triangle CMP} }=\frac{\overline{LP} }{\overline{CP} }[/tex] (2); [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\frac{S_{\triangle LQN}.S_{\triangle CMP}}{S_{\triangle QNC}.S_{\triangle MPL}}=\frac{\overline{AC^2} }{\overline{BC^2} } [/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]S_{\triangle QLN}=S_{\triangle MPL}[/tex] ( [tex]\triangle CMP[/tex] ~ [tex]\triangle QNC[/tex] )

Иначе може и по-кратко стига да се сетим , че [tex]\triangle APL\equiv \triangle BLQ[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]S_{\triangle MPL}=\frac{1}{2 }S_{\triangle APL}[/tex] [tex]\Leftrightarrow [/tex] [tex]S_{\triangle QLN}=\frac{1}{2 }S_{\triangle BLQ}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]S_{\triangle QLN}=S_{\triangle MPL}[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Математика за 11-12 клас, Кандидат-студенти Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.