Регистрирайте се
Предишната тема :: Следващата тема |
Автор |
Съобщение |
inimitably Редовен
Регистриран на: 13 Nov 2008 Мнения: 102
гласове: 25
|
Пуснато на: Mon Jun 15, 2009 4:52 pm Заглавие: Лица |
|
|
Даден е [tex]\triangle ABC[/tex].Ъглополовящата на [tex]\angle ACB[/tex] пресича описаната окръжност около триъгълника в точка [tex]L[/tex].Симетралите на [tex]AC[/tex] и [tex]BC[/tex] пресичат [tex]CL[/tex] съответно в [tex]P[/tex] и [tex]Q[/tex].Ако [tex]M[/tex] и [tex]N[/tex] съответно са средите на [tex]AC[/tex] и [tex]BC[/tex] докажете , че [tex]S_{\triangle MPL}=S_{\triangle QNL}[/tex].
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Реклама
|
Пуснато на: Заглавие: Реклама |
|
|
|
|
Върнете се в началото |
|
|
NoThanks Гост
|
|
Върнете се в началото |
|
|
martosss VIP Gold
Регистриран на: 17 Mar 2007 Мнения: 3937 Местожителство: Somewhere over the rainbow гласове: 213
|
Пуснато на: Mon Jun 15, 2009 7:23 pm Заглавие: |
|
|
Браво, макар да тръгнах по друг път, пак стигнах до [tex]\frac{S_{LPM}}{S_{LNQ}}=\frac{AC*PL}{BC*LQ}[/tex] и това тъкмо се чудех как да го постигна, но ти ми показа верния път.
Иначе само с лица работя:
[tex]\frac{S_{LMP}}{S_{LNQ}}=\frac{S_{LMC}-S_{MPC}}{S_{LNC}-S_{QNC}}[/tex].
Сега използвайки, че
[tex]S_{LMC}=\frac{MC}{NC}S_{LNC}[/tex]
и
[tex] S_{MPC}=\frac{MC*PC}{CN*QC}*S_{NQC}[/tex]
получаваме [tex]\frac{S_{LMP}}{S_{LNQ}}=\frac{\frac{MC}{NC}S_{LNC}-\frac{MC*CP}{CN*CQ}*S_{NQC}}{S_{LNC}-S_{QNC}}=\frac{\frac{MC}{NC}\left(S_{LNC}-\frac{CP}{CQ}*S_{NQC}\right)}{S_{LNC}-S_{QNC}}[/tex]
Сега [tex]S_{LNC}=\frac{LC}{QC}S_{QCN}[/tex]
Става
[tex]\fbox{\frac{S_{LMP}}{S_{LNQ}}=\frac{\frac{MC}{CN}\left(\frac{LC}{QC}-\frac{CP}{CQ}\right)}{\frac{LC}{CQ}-1}=\frac{MC}{CN}*\frac{LP}{LQ}=\frac{AC*LP}{BC*LQ}}[/tex]
Сега остава да, забележим, че [tex]\Del ALP\approx \Del ABC, \Del LBQ\approx \Del ABC\Right PL=\frac{BC*AL}{AB},LQ=\frac{AC*LB}{AB}\Right \fbox{\frac{LP}{LQ}=\frac{BC}{AC}}[/tex]
Получихме [tex]\frac{S_{LMP}}{S_{LNQ}}=\frac{AC}{BC}*\frac{LP}{LQ}=\frac{AC}{BC}*\frac{BC}{AC}=1\Right [/tex] двете лица са равни.
|
|
Върнете се в началото |
|
|
inimitably Редовен
Регистриран на: 13 Nov 2008 Мнения: 102
гласове: 25
|
Пуснато на: Tue Jun 16, 2009 5:18 pm Заглавие: |
|
|
Да, основното беше да докажете [tex]\frac{\overline{LP} }{\overline{QL} }=\frac{\overline{BC} }{ \overline{AC} }=\frac{\overline{CQ} }{\overline{CP} } [/tex]
Може да се докаже с малко тригонометрия
Нека [tex]O[/tex] е център на описаната окръжност.Тогава от [tex]\triangle LOP[/tex] и [tex]\triangle QOL[/tex] по синусова теорема имаме:
[tex]PL=Rsin\alpha cos{\frac{\gamma }{2 }}[/tex] и [tex]LQ=Rsin\beta cos{\frac{\gamma }{ 2}}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\frac{\overline{PL} }{ \overline{LQ} }=\frac{sin\alpha }{sin\beta }=\frac{\overline{BC} }{ \overline{AC} }[/tex]
[tex]\frac{S_{\triangle LQN}}{S_{\triangle QNC} }=\frac{\overline{LQ} }{ \overline{QC} } [/tex] (1); [tex]\frac{S_{\triangle MPL}}{S_{\triangle CMP} }=\frac{\overline{LP} }{\overline{CP} }[/tex] (2); [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\frac{S_{\triangle LQN}.S_{\triangle CMP}}{S_{\triangle QNC}.S_{\triangle MPL}}=\frac{\overline{AC^2} }{\overline{BC^2} } [/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]S_{\triangle QLN}=S_{\triangle MPL}[/tex] ( [tex]\triangle CMP[/tex] ~ [tex]\triangle QNC[/tex] )
Иначе може и по-кратко стига да се сетим , че [tex]\triangle APL\equiv \triangle BLQ[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]S_{\triangle MPL}=\frac{1}{2 }S_{\triangle APL}[/tex] [tex]\Leftrightarrow [/tex] [tex]S_{\triangle QLN}=\frac{1}{2 }S_{\triangle BLQ}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]S_{\triangle QLN}=S_{\triangle MPL}[/tex]
|
|
Върнете се в началото |
|
|
|
|
Не Можете да пускате нови теми Не Можете да отговаряте на темите Не Можете да променяте съобщенията си Не Можете да изтривате съобщенията си Не Можете да гласувате в анкети Може да прикачвате файлове Може да сваляте файлове от този форум
|
|