Регистрирайте сеРегистрирайте се

Примерна тема от СУ (Списание математика)


 
   Форум за математика Форуми -> Математика за 11-12 клас, Кандидат-студенти
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Is it black or white?
Напреднал


Регистриран на: 03 Jan 2009
Мнения: 393
Местожителство: Силистра ПМГ
Репутация: 38.2Репутация: 38.2Репутация: 38.2Репутация: 38.2
гласове: 32

МнениеПуснато на: Sun Jun 14, 2009 7:06 pm    Заглавие: Примерна тема от СУ (Списание математика)

Задача 1. Да се реши уравнението [tex]\sqrt{4-x}-\sqrt{x+1}=1[/tex].
Задача 2. Да се реши неравенството [tex]\frac{5x-1}{x^2-x+1}<x-1[/tex].
Задача 3. Даден е [tex]\triangle ABC[/tex] със страни [tex]AC=5, BC=7[/tex] и медиана [tex]CM=\sqrt{21}[/tex]. Да се пресметне лицето на триъгълника.
Задача 4. Даден е ромб [tex]ABCD[/tex] с диагонал [tex]AC=8[/tex] и [tex]cos\angle BAD=\frac{7}{25}[/tex]. Да се намерят дължините на диагонала [tex]BD[/tex] и на страната на ромба.
Задача 5. Да се намерят всички реални числа [tex]a[/tex], за които най-малката стойност на функцията [tex]f(x)=x^2-3x+a[/tex] в интервала [tex][0;1][/tex] е по-голяма от [tex]2[/tex].
Задача 6. Даден е [tex]\triangle ABC[/tex] със страни [tex]AC=15, BC=20[/tex] и радиус на описаната окръжност [tex]R=\frac{25}{2}[/tex]. Да се намери дължината на страната [tex]AB[/tex].
Задача 7. Да се реши уравнението [tex]4^x+(x-4)2^x=12-2x[/tex].
Задача 8. Реалните числа [tex]x,y[/tex] удовлетворяват равенството [tex]2x^2-4xy+6y^2=9[/tex]. Да се намерят възможно най-малката и най-голямата стойност на израза [tex]2x-y[/tex].
Задача 9. Да се пресметне обемът на триъгълна пирамида [tex]ABCD[/tex], ако [tex]AC=6, BC=5, CD=4, \angle ACB=60^\circ, \angle ACD=45^\circ, \angle BCD=45^\circ[/tex].
Задача 10. Дадено е уравнението [tex]x^3+nx-3n=0[/tex], където параметърът [tex]n[/tex] е естествено число. Да се докаже, че уравнението има единствен реален корен, и да се намерят всички стойности на [tex]n[/tex], за които този корен е цяло число.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
Is it black or white?
Напреднал


Регистриран на: 03 Jan 2009
Мнения: 393
Местожителство: Силистра ПМГ
Репутация: 38.2Репутация: 38.2Репутация: 38.2Репутация: 38.2
гласове: 32

МнениеПуснато на: Sun Jun 14, 2009 7:06 pm    Заглавие:

Ще се радвам да сверяваме отговори Smile
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
_sssss
Фен на форума


Регистриран на: 07 Dec 2008
Мнения: 633

Репутация: 85.8Репутация: 85.8
гласове: 50

МнениеПуснато на: Sun Jun 14, 2009 7:18 pm    Заглавие:

[tex]10. \; \normal f'(x)=3x^2 + n \; n\in N \Rightarrow f'(x)>0 \; \Rightarrow[/tex] функцията е растяща и уравнението има 1 р.к.

[tex]\normal f(1)=1-2n \; \rightarrow n\ge1 \Rightarrow f(1)<0\\f(3)=27 - 3n +3n=27 \; \Rightarrow f(3)>0[/tex]

Коренът е някъде в (1;3). Единственото цяло число в интервала е 2.

[tex]f(2)=0 \Leftrightarrow n=8[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Spider Iovkov
VIP


Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 1273

Репутация: 199.9Репутация: 199.9
гласове: 129

МнениеПуснато на: Sun Jun 14, 2009 7:20 pm    Заглавие:

Задача 7. [tex]2^x=u, u>0 \Leftrightarrow (2^x)^2+(x-4)2^x=12-2x \Leftrightarrow u^2+u \log_{2}u-4u=12-\log_{2}u^2 \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow u^2-4u-12=-\log_{2}u^u-\log_{2}u^2 \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (u-6)(u+2)=-(\log_{2}u^u+\log_{2}u^2) \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (u-6)(u+2)=-\log_{2}(u^u.u^2) \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (u-6)(u+2)=-\log_{2}u^{u+2} \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (u-6)(u+2)=-(u+2)\log_{2}u \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (u-6)(u+2)+(u+2)\log_{2}u=0 \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (u+2)(u-6+\log_{2}u)=0 |:(u+2)\neq 0[/tex] (защото [tex]u>0[/tex]) [tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]u-6+\log_{2}u=0 \Leftrightarrow 2^x+x-6=0 \Leftrightarrow 2^x+x=6[/tex]
Отляво функцията е растяща, отдясно е константа, откъдето решението е единствено. Непосредствено се проверява, че [tex]x=2[/tex].

Задача 9. Построяваме [tex]DK\bot AC, DT\bot BC[/tex]. По условие [tex]\angle ACD=45^\circ \Rightarrow \angle KDC=45^\circ \Leftrightarrow KD=KC[/tex]. От [tex]\triangle KDC[/tex], взимайки предвид, че [tex]CD=4[/tex], лесно намираме [tex]KD=KC=2\sqrt{2}[/tex].
По абсолютно аналогичен начин определяме [tex]DT=CT=2\sqrt{2}[/tex], или [tex]DK=DT \Leftrightarrow OK=OT[/tex]. Върхът [tex]O[/tex] се проектира ортогонално върху ъглополовящата на [tex]\angle ACB[/tex] (защото всяка точка от ъглополовящата е на равни разстояния от раменете на ъгъла, в случая [tex]OK=OT[/tex]).
Пресмятаме: [tex]B=S_{\triangle ABC}=\frac{AC.BC. sin60^\circ}{2}=5.6.\frac{sin60^\circ}{2} \Leftrightarrow B=\frac{15\sqrt{3}}{2}\, (*)[/tex].
От правоъгълния [tex]\triangle KOC \Rightarrow KO=\frac{2\sqrt{6}}{3}\, (\angle KCO=30^\circ)[/tex], а от [tex]\triangle KOD[/tex] по Питагоровата теорема намираме [tex]OD=\frac{4\sqrt{3}}{3}\, (**)[/tex].
От [tex](*)[/tex] и [tex](**)[/tex] намираме обема на пирамидата:
[tex]V_{ABCD}=\frac{1}{3}Bh=\frac{1}{3}.\frac{15\sqrt{3}}{2}.\frac{4\sqrt{3}}{3} \Leftrightarrow V_{ABCD}=10[/tex].



Показателно уравнение.JPG
 Description:
 Големина на файла:  17.72 KB
 Видяна:  3885 пъти(s)

Показателно уравнение.JPG



Равни ъгли в пирамида.PNG
 Description:
 Големина на файла:  21.57 KB
 Видяна:  3914 пъти(s)

Равни ъгли в пирамида.PNG


Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
marxman
Начинаещ


Регистриран на: 13 Jun 2009
Мнения: 10


МнениеПуснато на: Sun Jun 14, 2009 7:30 pm    Заглавие:

1.x=0
2.[tex]x\in (-1;0) \cup (3;+\infty )[/tex]
3.[tex]S=10\sqrt{3}[/tex]
4.a=5, BD=6
5.a>4
6.AB=25
Има ли нещо вярно ?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Is it black or white?
Напреднал


Регистриран на: 03 Jan 2009
Мнения: 393
Местожителство: Силистра ПМГ
Репутация: 38.2Репутация: 38.2Репутация: 38.2Репутация: 38.2
гласове: 32

МнениеПуснато на: Sun Jun 14, 2009 7:52 pm    Заглавие:

Еми, до тук всичките ти отговори са като моите Smile аз отг. на задачите нямам, но щом и двамата получаваме едно и също мисля, че е вярно Wink
На шеста получавам R=25 (ABC-правоъгълен), седма, девета и десета ги решиха, а осма я има тук http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?p=53708&highlight=#53708
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
_sssss
Фен на форума


Регистриран на: 07 Dec 2008
Мнения: 633

Репутация: 85.8Репутация: 85.8
гласове: 50

МнениеПуснато на: Sun Jun 14, 2009 8:13 pm    Заглавие:

[tex]7. \; \; \normal 2^x=t \\ t^2 + (x-4)t - 12 +2x=0\\ D=(\ x-8\)^2 \\ 2^x=-2 \; \; 2^x=-x+6[/tex]

Аз пък на 8 реших уравнението, спрямо едното неизвестно, за да го изразя чрез другото, ужас. Embarassed Пак се получава, но решението на Iovkov е много по-хубаво.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
NetGh0st
Начинаещ


Регистриран на: 12 Jan 2008
Мнения: 50

Репутация: 7.7Репутация: 7.7Репутация: 7.7Репутация: 7.7Репутация: 7.7Репутация: 7.7Репутация: 7.7
гласове: 1

МнениеПуснато на: Sun Jun 14, 2009 8:39 pm    Заглавие:

Тази тема също е Чакърян. Решавал съм я преди време, и една от по-лесните теми за СУ.

Дай боже тая година по-лесна да е темичката, че се осрах на предварителния. Отговорите ми са същите като вашите, доколкото помня на всички задачи.

А за 10-та предлагам следното стандартно решение:
0. Означаваме като f(x)
1. Производната
2. Виждаме, че тя е винаги >0, т.е. функцията е растяща
3. По теорема на Болцано казваме, че функцията е непрекъсната, и че има и + и - стойности.
4. От 3. следва, че има f(x)=0 точно 1 корен.
5. изразяваме n от израза и получаваме x3+nx-3n=0
n(3-x)=x3
n=x3/(3-x)
n=(3-x)/x3

n трябва да е >0, => x { {0,3} или нещо такова, като 0 и 3 не влизат. Т.е. вместо да търсим стойсти на n, за които х е цяло число, по-добре да търсим стойности на х, за които n е цяло число, след като знаем интервал за x.

от тук при х=2, n=8.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Is it black or white?
Напреднал


Регистриран на: 03 Jan 2009
Мнения: 393
Местожителство: Силистра ПМГ
Репутация: 38.2Репутация: 38.2Репутация: 38.2Репутация: 38.2
гласове: 32

МнениеПуснато на: Sun Jun 14, 2009 8:52 pm    Заглавие:

Ето още една хубава задача Smile

Зад. Катетите на правоъгълен триъгълник имат дължива a и b. Да се намери радиусът на окръжността, която минава през [tex]C[/tex] и се допира до хипотенузата и до описаната около ▲ABC окръжност вътрешно.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
werdegang
Начинаещ


Регистриран на: 27 Sep 2007
Мнения: 66
Местожителство: България
Репутация: 10.3
гласове: 3

МнениеПуснато на: Sun Jun 14, 2009 8:52 pm    Заглавие:

Тази тема и аз съм я решавала и си спомням, че на 10-та получих 8 Very Happy
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Sun Jun 14, 2009 9:34 pm    Заглавие:

Is it black or white? написа:
Ето още една хубава задача Smile

Зад. Катетите на правоъгълен триъгълник имат дължива a и b. Да се намери радиусът на окръжността, която минава през [tex]C[/tex] и се допира до хипотенузата и до описаната около ▲ABC окръжност вътрешно.

Получих.. странен отговор...

[tex]x=r=\frac{\sqrt{a^2+b^2}ab(\sqrt{a^4-3a^2b^2+4b^2}-ab)}{2(a^2+2b^2)^2}[/tex] Very Happy

П.П. След леко доглеждане получих друго: [tex]r=\frac{ab\sqrt{a^2+b^2}}{(a+b)^2}[/tex] Razz
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Is it black or white?
Напреднал


Регистриран на: 03 Jan 2009
Мнения: 393
Местожителство: Силистра ПМГ
Репутация: 38.2Репутация: 38.2Репутация: 38.2Репутация: 38.2
гласове: 32

МнениеПуснато на: Sun Jun 14, 2009 9:52 pm    Заглавие:

Браво, Март, това е верният отговор Smile
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Sun Jun 14, 2009 10:07 pm    Заглавие:

Is it black or white? написа:
Браво, Март, това е верният отговор Smile

абе хванах два подобни триъгълника, ама първоначално взех много кофти отношение.. после се усетих и стана за 2 мин на 5 реда Cool
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
NoThanks
Гост






МнениеПуснато на: Sun Jun 14, 2009 10:13 pm    Заглавие:

Ето и скромното решение:
[tex]sin\alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} = \frac{h_{c}}{b} => h_{c}=\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}} \; ; \; \frac{r}h_{c}=\frac{R-r}{R} \; R=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2} => r=\frac{h_{c}\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{a^2+b^2}+2h_{c}} = \frac{ab\sqrt{a^2+b^2}}{(a+b)^2}[/tex]



асдасдасдасдад.png
 Description:
 Големина на файла:  12.52 KB
 Видяна:  3757 пъти(s)

асдасдасдасдад.png


Върнете се в началото
_sssss
Фен на форума


Регистриран на: 07 Dec 2008
Мнения: 633

Репутация: 85.8Репутация: 85.8
гласове: 50

МнениеПуснато на: Mon Jun 15, 2009 7:49 am    Заглавие:

Как се доказва, че [tex]\normal K \in CM[/tex]?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
NoThanks
Гост






МнениеПуснато на: Mon Jun 15, 2009 8:00 am    Заглавие:

CM-радиус на описаната окръжност и по условие 'нашата' окръжност се допира до описаната в т.C. Значи CM perp t(c) ; CK perp t(c). От тук C,K,M са на 1 права Wink
Върнете се в началото
_sssss
Фен на форума


Регистриран на: 07 Dec 2008
Мнения: 633

Репутация: 85.8Репутация: 85.8
гласове: 50

МнениеПуснато на: Mon Jun 15, 2009 8:09 am    Заглавие:

Благодаря. Embarassed
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
NetGh0st
Начинаещ


Регистриран на: 12 Jan 2008
Мнения: 50

Репутация: 7.7Репутация: 7.7Репутация: 7.7Репутация: 7.7Репутация: 7.7Репутация: 7.7Репутация: 7.7
гласове: 1

МнениеПуснато на: Wed Jun 17, 2009 8:27 pm    Заглавие:

Задача 6 има от темата има 2 решения. Ако <BAC е тъп, то височината CH е външна за ABC, синусите и косинусите стават различни, и се получава друг отговор за AB, освен 25.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Is it black or white?
Напреднал


Регистриран на: 03 Jan 2009
Мнения: 393
Местожителство: Силистра ПМГ
Репутация: 38.2Репутация: 38.2Репутация: 38.2Репутация: 38.2
гласове: 32

МнениеПуснато на: Wed Jun 17, 2009 8:43 pm    Заглавие:

Прав си:
[tex]AB=25[/tex] (при [tex]\angle BAC[/tex] - остър)
[tex]AB=7[/tex] (при [tex]\angle BAC[/tex] - тъп)
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Математика за 11-12 клас, Кандидат-студенти Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.