Лице на триъгълник

[houslex]

Да се намери лицето на триъгълник ABC, ако АС=16, BC=12 и медианите през върховете А и В са перпендикулярни.

[Реклама]

[martosss]

[tex]m_a\cap m_b = O\Right O-\cyr{meditsent\cdprimer}\Right^{\Del ABO} AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\frac{2}{3}\sqrt{m_a^2+m_b^2}=\frac{2}{3}\sqrt{\frac{1}{4}\left(2x^2+2*13^2-12^2\right)+\frac{1}{4}\left(2*12^2+2x^2-13^2\right)}=\\\frac{1}{3}\sqrt{4x^2+313}=AB=x\Right 4x^2+313=x^2\Right 5x^2=313\Right x=\sqrt{\frac{313}{5}}[/tex]

И сега след като знаеш трите страни спокойно намираш лицето

[houslex]

хммммммммммммм свойство на медицентър.....

[martosss]

[houslex]

гледайки това което си написал питам:

за да намериш AB не ти ли трябват трите медиани ?

Като цяло може ли малко по-подробно ... разбирам какво ползваш.. единствено не се бях сетил за изразяване на страната АВ чрез Питагор за тр. АВО.

[martosss]

[martosss]

Вече всичко е ясно, нали?

[houslex]

"Идиално".

[Spider Iovkov]

Може просто да се използва, че ако медианите през върховете [tex]A[/tex] и [tex]B[/tex] на [tex]\triangle ABC[/tex] са взаимно перпендикулярни и [tex]BC=a, AC=b, AB=c[/tex], то е в сила [tex]a^2+b^2=5c^2[/tex].

[r2d2]

[krainik]

Абе, остави го момчето(което всъщност ми е батко,де ), радва се, че е открило някаква зависимост Разбира се, това трябва да се доказва

[Spider Iovkov]

Няма проблеми, : http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?p=63101&highlight=#63101.

[martosss]

[Tinna]

Само с Питагорова теорема.
Нека медианите са съответно АА₁ и ВВ₁, а т.О е медицентърът на триъгълника.
Означаваме АО=2а; ОА₁=а; ВО=2в;ОВ₁=в
Питагорова теорема за:
[tex]\Delta AOB_{1}: 4a^{2}+b^{2}=64[/tex]
[tex]\Delta BOA_{1}: a^{2}+4b^{2}=36[/tex]

І начин:
Събираме почленно и получаваме, че а²+в²=20
Но 4(а²+в²)=с² (от [tex]\Delta [/tex]АВО), откъдето пресмятаме с и можем да намерим S с Херонова формула.

ІІ начин:
Решаваме системата и намираме а и в, а оттам и лицето на
[tex]\Delta [/tex]АВО, което е [tex]\frac{1}{ 3} S(\Delta ABC)[/tex]