Eдно уравнение

[r2d2]

Koлко корена има уравнението [tex]\frac {\sin x}{\cos 3x} + \frac {\sin 3x}{\cos 9x} +\frac {\sin 9x}{\cos 27x}=0\; [/tex]в интервала [tex](-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})[/tex]?

[Реклама]

[NoThanks]

Означаваме въпросната сума с f(x) и намираме [tex]f'(x)=\frac{cos{x}cos{3x}+3sin{3x}sinx}{cos^2{3x}}+\frac{3cos{3x}cos{9x}+9sin{9x}sin{3x}}{cos^2{9x}}+\frac{9cos{9x}cos{27x}+27sin{27x}sin{9x}}{cos^2{27x}}[/tex]
след прилагане формулата [tex]sin\alpha sin\beta+cos\alpha cos\beta = cos(\alpha-\beta)[/tex] Получаваме [tex]f'(x)=\frac{cos2x+2sin3xsinx}{cos^23x}+\frac{3cos6x+6sin9xsin3x}{cos^29x}+\frac{9cos18x + 18sin27xsin9x}{cos^227x}[/tex]
Сега ползваме формулата за [tex]sin\alpha sin\beta[/tex] и имаме:
[tex]f'(x)=\frac{\frac{1}{2}(3cos2x-2cos^22x+1)}{cos^23x}+\frac{3(-2cos^26x+2cos6x+1)}{cos^29x} + \frac{9(-2cos^218x+2cos18x+1)}{cos^227x}[/tex]
Iсега като ползваме, че [tex]cos\alpha > cos^2\alpha[/tex] в интервала [tex](-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})[/tex], то излиза, че [tex]f'(x)>0[/tex] за всяко х от интервала. Тогава f(x)=0 има най-много 1 корен. Лесно се проверява, че x=0 e корен и съответно той е единственият.

[r2d2]

Написаното "доказателство" е неверно. Това води до нова задача (приемам, че сметките са верни): Намерете грешката в "доказателството" на NoThanks!

[M_Velinova]

Ако [tex]cos 18x<0[/tex]? Нали само за x e дадено [tex]x\in (-\frac{\pi}{2 } ;\frac{\pi}{ 2}) [/tex]
Може би ще останат 25 решения, както ми показа графиката.
След преобразуване се получиха 25+8+2, но трябва да се премахнат недопустимите стойности(може би от тях трябваше да започна), а може би има съвпадащи решения.

[NoThanks]

Мхм, наистина е така Според мен идеята може да си остане обаче, просто ще трябва да поразгледаме случаи

[M_Velinova]

Уравнението добива вида:
[tex]\frac{\sin {26x}.\cos {9x}.(2\cos{2x}-1)}{ \cos{3x}.\cos{9x}.\cos{27x}}=0[/tex] и наистина отпадат корените за [tex]\cos {9x}=0[/tex] и [tex]2\cos{2x}-1=0[/tex] и остават 25 корена. А те са [tex]x=k.\frac{\pi}{ 26} [/tex] за

[tex]k\in\{-12;-11; ...;11;12\}[/tex]

[martosss]

[martosss]

[r2d2]

[krainik]

Така, като го гледам, ми се набива на очи, че индексите пред x-овете образуват геометрична прогресия? Да не би да има някакво обобщение(т.е алгоритъм за намиране на броя на решенията на такова уравнение), което се очаква да намерим?

[martosss]

[r2d2]

Марто, благодаря!

[M_Velinova]

Поздравления за martosss.
Той се е амбицирал и е написал сметките.
Просто съм много заета в последната една година, иначе участието в този форум за мен е удоволствие!
В момента се прибирам, видях новото предложение, обещавам да намеря време за него.

[martosss]

[martosss]

Хаха май го разгадах !

[tex]\sum_{1}^{n} \frac{sin(3^{i-1}x)}{cos(3^ix)}=\frac{sin[(3^n-1)x]}{2cosxcos(3^nx)}[/tex]
Оттук нататък вече си смятаме броя на решенията

За тези, които не разбират горното, ще кажа само, че

[tex]\frac {\sin x}{\cos 3x} + \frac {\sin 3x}{\cos 9x} +\frac {\sin 9x}{\cos 27x}=\frac{sin26x}{2cosxcos27x}[/tex]
и
[tex]\frac {\sin x}{\cos 3x} + \frac {\sin 3x}{\cos 9x} +\frac {\sin 9x}{\cos 27x}+\frac{\sin 27x}{\cos 81x}=\frac{\sin 80x}{2\cos x\cos 81x}[/tex].

Тоест имаме че, за произволен брой събираеми, уравнението ще стане [tex]\frac{\sin [(3^n-1)x]}{2\cos x\cos (3^nx)}=0[/tex], откъдето [tex]\sin [(3^n-1)x)]=0\Right x=\frac{k\pi}{3^n-1}\in \left(-\frac{\pi}{2}\: ;\: \frac{\pi}{2}\right),\: k\in Z\Right k\in (-\frac{3^n-1}{2}\: ;\: \frac{3^n-1}{2})[/tex], сега махаме двете крайни числа на интервалите и прибавяме 0 като решение, откъдето уравнението ще има [tex]\left(\frac{3^n-1}{2}-1\right)-\left(-\frac{3^n-1}{2}+1\right)+1=\fbox{3^n-2} [/tex] решения, където [tex]n[/tex] е броят на събираемите.

[r2d2]

Oт тъждеството [tex]\tan x - \tan y = \frac{\sin (x-y)}{\cos x \cos y}[/tex] получаваме

[tex]\tan 3x - \tan x = \frac{\sin 2x}{\cos 3x \cos x}=2\frac{\sin x}{\cos 3x}[/tex].

Taка намираме, че [tex]\sum_{1}^{n} \frac{\sin (3^{i-1}x)}{\cos (3^ix)}=0[/tex] е равносилно с уравнението [tex]\tan 3^nx = \tan x[/tex] или [tex]3^nx=x+k\pi \Rightarrow x=\frac{k\pi}{3^n-1}[/tex].

Oстава да преброим решенията в дадения интервал и да махнем тези, за които [tex]\cos 3^nx=0\;[/tex] (те са 2).

[M_Velinova]

Много хубава задача!
Винаги на красивите задачи решенията са много кратки!

[martosss]

[M_Velinova]

E, ние с теб се потрудихме малко повече...
Но мисля, че доста добре се справи!

[martosss]

Мен ми хареса индукцията, с чиято помощ се стига до обща формула за уравнение от този тип