може ли да ми помогнете за тази задача

[bobita5]

Докажете че ако за ъглите α,β и γ на един триъгълник е изпълнено

sinα=cosβ+cosγ, то тои е правоъгълен.

[Реклама]

[nikko1]

Започвам с това, че не твърдя, че е най-красивото решение.

Понеже имаме ъгли на триъгълник [tex]\alpha+\beta+\gamma=\pi[/tex] (по удобно ми е да работя в радиани, ако в градуси ви е по-удобно, то [tex]\pi=180^\circ[/tex]). Освен това понеже говорим за ъгли на триъгълник, то [tex]0\leq\alpha,\,\beta,\,\gamma\leq\pi.[/tex]
Нека [tex]\beta+\gamma=x,\ \alpha=\pi-x.[/tex] Замествам в равенството
[tex]\sin(\pi-x)=\cos\beta+\cos\gamma=2\cos\frac{\beta+\gamma}{2}\cos\frac{\beta-\gamma}{2}=2\cos\frac{x}{2}\cos\frac{\beta-\gamma}{2}[/tex]
От друга страна [tex]\sin(\pi-x)=2\sin\frac{\pi-x}{2}\cos\frac{\pi-x}{2}=2\cos\frac{x}{2}\cos\frac{\pi-x}{2}[/tex]
Съкръщаваме [tex]2\cos\frac{x}{2}[/tex] и получаваме [tex]\color{red}\cos\frac{\beta-\gamma}{2}=\cos\frac{\pi-x}{2}[/tex]

Забелязваме, че [tex]-\frac{\pi}{2}\leq\frac{\beta-\gamma}{2}\leq\frac{\pi}{2}[/tex] и [tex]0\leq\frac{\pi-x}{2}\leq\frac{\pi}{2}[/tex] и понеже косинуса е четна функция, то [tex]\frac{\beta-\gamma}{2}=\pm\frac{\pi-\beta-\gamma}{2}.[/tex] При знак + се получава [tex]\beta=\frac{\pi}{2}[/tex] - прав ъгъл, а при знак - имаме [tex]\gamma=\frac{\pi}{2}[/tex] - пак прав ъгъл.

[DESAN]

Понеже се мъчим да докажем, че триъгълника е правоъгълен добре е да знаем, за правоъгълния тригъгълник че: cos90=0; sina=cosb следователно изразът ще стане:
sina= cosb +cos90 или -> sina=cosb което е изпълнено само за правоъгълния триъгълник.

[mania_vd]

[DESAN]

[mkmarinov]

[tex]sin\alpha = sin(\pi - (\beta + \gamma ))=sin(\beta + \gamma)=2sin{\frac{\beta+\gamma}{2}}cos{\frac{\beta + \gamma}{2}} [/tex]
[tex]cos\beta + cos\gamma = 2cos{\frac{\beta + \gamma}{2}}cos{\frac{\beta - \gamma}{2}}[/tex]
=>
[tex]cos{\frac{\beta + \gamma}{2}}cos{\frac{\beta - \gamma}{2}}=sin{\frac{\beta+\gamma}{2}}cos{\frac{\beta + \gamma}{2}}[/tex]
1)[tex]cos{\frac{\beta + \gamma}{2}}=0[/tex] <=> [tex]\beta + \gamma = \alpha = \frac{\pi }{2}[/tex]
2)[tex]cos{\frac{\beta - \gamma}{2}}=sin{\frac{\beta+\gamma}{2}}[/tex] (Този случай е разгледан вярно от nikko1.)
[tex]cos{\frac{\beta - \gamma}{2}}=cos({\frac{\pi }{2} - \frac{\beta + \gamma}{2}})[/tex]
[tex]cos{\frac{\beta - \gamma}{2}}=cos({\frac{\pi - (\beta + \gamma)}{2}})[/tex]
...