Задача от примерна тема УАСГ 2004

[Mandos]

Ето и задачата:
[tex] \sqrt{a+x+1-\sqrt{a(x+1)}}=x+1-\sqrt{a}; a \geq 0[/tex]

a)Да се реши у-нието при а=1
б)Да се реши у-нието при всяка допустима стойност на a
в)Да се докаже, че решението x(a) е монотонно растяща функция на а в интервала [tex][1, \infty][/tex] и да се намери [tex] \lim_{a \rightarrow 0}x(a) [/tex]

Има ли друг начин подточка а) да се реши освен чрез формулата на Кардано?

[Реклама]

[mkmarinov]

а)
[tex]\sqrt{1+x+1-\sqrt{x+1}}=x+1-1[/tex]
[tex]\sqrt{x+1}=t[/tex]:
[tex]\sqrt{t^2+1-t}=t^2-1[/tex] /^2; t^2>1
[tex]t^2+1-t=t^4-2t^2+1[/tex]
[tex]t^4-3t^2+t=0[/tex] / :t !=0
[tex]t^3-3t+1=f(t)[/tex] - да е равно на нула.
[tex]f(1)<0; f(2)>0[/tex]... t=2cosz
[tex]8cos^3z-6cosz+1=0[/tex]
[tex]2(4cos^3z-3cosz)=-1[/tex]
[tex]cos3z=-\frac{1}{2}[/tex]
[tex]z=\pm \frac{2\pi }{9} + \frac{2k\pi }{3}[/tex]
И се връщаш в полаганията .


(Мисля, че r2d2 беше пускал подобно уравнение във форума)

[martosss]

[mkmarinov]

Всъщност t е между -2 и 2 за полагането.
От f(1).f(2)<0 => има ПОНЕ един корен между тях. Ако намеря този корен мога лесно да разложа с Хорнер и да стигна до произведение на линеен и квадратен израз.
Иначе:
[tex]f(-2)=-1[/tex]; [tex]f(-1)=3[/tex] => има един корен (-2;-1).
[tex]f(0)=1[/tex]; [tex]f(1)=-1[/tex] => има един корен (0;1).
[tex]f(1)=-1[/tex]; [tex]f(2)=1[/tex] => има един корен (1;2).

[Mandos]

mkmarinov - Благодаря ти изключително много! Да, видях темата на r2d2 но не бях сигурен в този случай какво е полагането за решението на кубичното уравнение.