Примерна 10зад за СУ

[TheXFiles]

Да се докаже, че функцията [tex]f(x)=x^{4}-4x^{3}+4x+15,53[/tex] има три локални екстремума и стойностите на тези екстремуми са положителни числа.

Задачата е от списание М+, предполагам от последните броеве.

[Реклама]

[NoThanks]

Дай боже(или пък не ) да дадат такава 10-та в СУ . Пишем си 1вата производна, после и 2рата. Оказва се, че 1вата производна расте в [tex](-\infty;0) \cup (2;\infty)[/tex] и намалява в (0;2). Като сметнем и границите в +-безкрай излиза, че f'(x)=0 има 3 корена - [tex]\alpha \; \beta \; \gamma[/tex] като можем да постесним малко интервалите в които са разположени тези корени до [tex]\alpha \in (-2/3;0) \; \beta \in (1/2;1) \; \gamma \in (2;13/5) [/tex] като проверявайки във втората производна, разбираме, че [tex]\alpha \; \gamma[/tex] са локални минимуми, а бета е максимум. В такъв случай трябва да докажем [tex]f(\alpha) >0 \; f(\gamma)>0[/tex]
[tex]f(\alpha)=\alpha^4-4\alpha^3+4\alpha +15,53[/tex] a имаме [tex]f'(\alpha)=4\alpha^3-12\alpha^2 +4 =0 => 4\alpha^3=12\alpha^2-4 => f(\alpha)=\alpha^4-12\alpha^2+19,53 + 4\alpha[/tex] Сега като положим [tex]\alpha^2 = t \in (0;4/9)[/tex] И разгледаме [tex]t^2-12t+19,53[/tex] излиза, че тази ф-я Има нмс за t=6. и съответно намалява за t in (0;4/9) значи НМС е за t->4/9(направо ще вземем равно) значи НМС е [tex]-\frac{416}{81}+19,53>14[/tex] а за [tex]f(\alpha)>14+4\alpha > 14-4*2/3 >0[/tex] Което ни доказва нещата. За гама процедираме аналогично, пак ф-ята е същата като се положи гама^2=t и НМС е за t=13/5 i f(t)>0 , а f(gama)=f(t)+4gama >0.

[_sssss]

Ето моето предложение, но не съм сигурна в достоверността му.
Първата част от задачата е ясна.
Щом min на функцията са положителни, значи уравнението [tex]\normal x^4 - 4x^3 + 4x - 15.53=0[/tex] н.р.к.
[tex]\normal x^4 - 4x^3 = -4x -15.53\\f(x)=x^4-4x^3 \; \; \; g(x)=-4x-15.53[/tex]
f(x) има екстр. в x=3(min)
f(0)=0; f(3)=-27
g(0)=-15.53; g(3)=-27.53
Тъй като f(x) и g(x) са намаляващи в (-∞;3) и f(0)>g(0), f(-1)>>g(-1), f(3)>g(3)

Това би ли могло да гарантира, че f(x) и g(x) няма да се пресекат?

Edit:
Разбрах, че не може с простия пример f(x)=x^2; g(x)=-4x -3.5
Все пак прилагам картинка, за да се изясним с NoThanks.

[NoThanks]

уравнението може да няма корени и защото f(x)<0.

[_sssss]

[NoThanks]

[mkmarinov]

[tex]x^4-4x^3+4x+15,53=(x^4-4x^3+4x+1)+14,53=(x^4-4x^3+6x^2-4x+1) - 6x^2+8x+14,53=\\=(x-1)^4-(6x^2-12x+6)-4x+20,53=(x-1)^4-6(x-1)^2-4x+20,53[/tex]
[tex](x-1)^2=t[/tex]
[tex]f(x)=t^2-6t-4x+20,53[/tex]
Върхът й (НМС) е в [tex]t=3; x=1+\sqrt{3}[/tex]. Проверяваме и виждаме, че в тази точка функцията е положителна => е положителна в цялата си ДО и е еквивалентна на дадената => каквито и екстремуми да има дадената, те са с положителна ордината.
Лесно се доказва, че дадената има 3 екстремума.

[NoThanks]