Успоредник

[inimitably]

Нека е даден успоредник [tex]ABCD[/tex] . Върху страните му [tex]AB[/tex] и [tex]AD[/tex] са избрани съответно [tex]M[/tex] и [tex]N[/tex] , така че [tex]BM=DN[/tex]. Ако [tex]BN\cap DM=O[/tex] докажете , че [tex]CO[/tex] е ъглополовяща на [tex]\angle BCD[/tex].

[Реклама]

[NoThanks]

Oт Менелай за AMD и NO => [tex]DO=pa \; OM=p(b-x)[/tex]. Нека [tex]CO \cap AB = K => \triangle{KMO} \equiv \triangle{DOC} => \frac{KM}{a}=\frac{b-x}{a} => KM=b-x[/tex] Но BM=x =>[tex]BK=b-x+x = b=BC[/tex] => KBC е равнобедрен =>[tex]\angle{BKC}=\angle{BCK}=\angle{KCD}[/tex] => CK-ъглополовяща.

[martosss]

ето и моя опит за решение:
Продължаваме [tex]BN[/tex] до пресичането му със [tex]CD[/tex] в точка [tex]T[/tex].
[tex]\Del ABN\approx \Del DTN\Right \frac{DT}{a}=\frac{DN}{AN}=\frac{x}{b-x}\Right DT=\frac{ax}{b-x}[/tex]
[tex]\Del MOB\approx \Del DOT\Right \frac{BO}{OT}=\frac{MB}{DT}=\frac{x}{\frac{ax}{b-x}}=\frac{b-x}{a}[/tex]
От друга страна имаме [tex]\frac{BC}{CT}=\frac{b}{a+\frac{ax}{b-x}}=\frac{b(b-x)}{ab-ax+ax}=\frac{b-x}{a}[/tex]

Получихме [tex]\frac{BO}{OT}=\frac{BC}{CT}=\frac{b-x}{a}[/tex], откъдето СО е ъглополовяща в триъгълник ВСТ

[inimitably]

Toчно така
Разбира се , задачата може да придобие по-коварен вид , например:

Даден е [tex]\triangle ABC[/tex] ([tex]AC>BC[/tex]) . Върху [tex]AC[/tex] и [tex]BC[/tex] са избрани [tex]M[/tex] и [tex]N[/tex] съответно , така че [tex]AM=BN[/tex] ( [tex]BM\cap AN=O[/tex] ). Ако [tex]P\in AC[/tex] такава , че [tex]AP=BC[/tex] докажете , че [tex]OP[/tex] е успоредна на вътрешната ъглополовяща през [tex]\angle ACB[/tex].

[martosss]