Геометрична задача 5

Pinetop Smith

Даден е тр. АВС и точка Р вътре в него така, че <РАС = 40, <РСА = 30, <РАВ = 10 и <РВА = 20. Да се докаже, че триъгълника е равнобедрен.

Реклама

Pinetop Smith · Пуснато на: Wed Jun 17, 2009 2:40 pm Заглавие:

Тази красива задача ми бе казана от r2d2. Ето и моето решение:

Първо ще докажем обратното, т.е. ако ВА = ВС и <РАС = 40, <РСА = 30, то <РВА = 20. За целта построяваме равностранен триъгълник АТС така, че В и Т да са в 1 и съща полуравнина относно АС. Тъй като <РСА = 30, то РА = РТ и тъй като <РАТ = 20, то и <РТА = 20. От ВА = ВС => <АТВ = 30 => <РТВ = 10. Тогава АРВТ е вписан, откъдето <АВР = <АТР = 20.
Сега разглеждаме тр. А'В'С', във вътрешността на който съществува такава точка Р', че <Р'А'В' = 10, <Р'В'А' = 20, <Р'А'С' = 40, <Р'С'А' = 30(даден в условието), за който А'С' = АС. Тогава триъгълниците АРС и А'Р'С' са еднакви по 2-ри пр. => АР = А'Р' и РС = Р'С'. Тогава имаме, че триъгълниците АРВ и А'Р'В' също са еднакви по 2-ри признак, откъдето ВР = В'Р'. Остана да отбележим, че <ВРС = <В'Р'С'(очевидно е от изчисление на ъгли), откъдето триъгълниците ВРС и В'Р'С' са еднакви по втори признак и значи В'С' = ВС = АВ = А'В'.

mousehack · Пуснато на: Wed Jun 17, 2009 4:38 pm Заглавие:

Мерси.Сега вече всичко ми стана ясно.

r2d2 · Пуснато на: Fri Aug 14, 2009 10:48 am Заглавие:

Meрките на ъглите са в градуси.

Построяваме т. Т, такава че[tex] \angle BAT=60\; [/tex] и е на лъча СР. Ясно е че, [tex]\Delta TAP [/tex]е равнобедрен и [tex]\angle APT=40.[/tex]

Т е на симетралата на АР, [tex]\angle ATP=40[/tex], точката В е в една полуравнина с Т спрямо АР и от нея АР се "вижда" под ъгъл от 20. Следователно В, Р и Т лежат на окръжност с център Т, ВР=ВТ и [tex]\Delta ATB [/tex] e равностранен.

Сега В е от симетралата на АТ, АВТ=60, а от С АТ се вижда под ъгъл от 30. Т.е. С,А и Т лежат на окр. с център в В и ВА=ВС.

martosss · Пуснато на: Fri Aug 14, 2009 10:57 am Заглавие:

Две малки поправки - <ATP е 40°(а АРТ=70°)
и В, Р и А лежат на окръжност с център Т, а не В, Р и Т.

Иначе браво за построението, наистина решава задачата по бърз и "Красив" начин. Smile

ins- · Пуснато на: Sat Aug 15, 2009 10:04 pm Заглавие:

Задачата е добре известна и мен много ме радва. Тук ще кажа някои интересни сведения за нея.
1. Давана е на олимпиада на в САЩ през 1996 г.
2. Това е една от първите задачи (ако не и първата) дискутирани в mathlinks.ro.
3. Задачата може да се реши и с тригонометрия.
4. Навремето беше много полезна за мен - след задачата от Канада 1986 (тригонометрията) това е втората малко по сериозна тригонометрична задача, която успях самостоятелно да реша.