принудени трептения на две трупчета

[rytimid]

задачата ми се стори интересна затова я пускам; след няколко дена, ще пусна моето решенеи както и верният отговор;
задачата е от черният сборник за 8, 9, 10 клас на максимов, зад 11, тест 1 от раздела трептения и вълни

не намерих по подходяща картинка за това да поясня за тази долу - представете си, че на тази пръчка са само въженца (1) и (4), като вместо въженца са пружини не с дължина l, а с коефиценти [tex] k_1 \ne k_2 [/tex] както и вместо сини точки имаме тежести със сответно маси [tex] m_1 \ne m_2 [/tex]; та ето я и задачата:

двете пружини махала са окачение на еластична хоризонтална пръчка. като се разлюлее махало 1 с определена амплитуда, трептенията се предават по пръчката на махало 2 и то извършва принудени трептения със същата честота [tex] \nu_1 [/tex] с която трепти махало 1( [tex] \nu_1 [/tex] е собствената честота на трептене на махало 1 ).
разполагаме с три пружини с коефиценти съответно 20, 30 и 45 N/m и три теглики с маси 1, 2, 3 kg. кои от тях ще използвате за махалата от фигурата и в каква комбинация за да възбудите принудени трептения на махалото 2 с максимална амплитуда ? естествено моят въпрос е и защо въпросната комбинация.
има и отгоовори( формата им е [tex] [ k_1 ] [ m_1 ] [ k_2 ] [ m_2 ] [/tex]
a) 20 1 45 3
b) 45 3 30 2
c) 45 2 30 3
d) 30 3 45 1

отг:с)

[Реклама]

[rytimid]

имаме връзка за пълната енергия на трептящи системи [tex] E = \frac{ k A^2 }{ 2 } [/tex] където к е коефицента на пружината, а А амплитудата;
в този случай имаме две трептящи системи, което означава, че пълната енергия на системата е [tex] E = E_1 + E_2 \Leftrightarrow E = \frac{ k_1 A_1^2 }{ 2 } + \frac{ k_2 A_2^2 }{ 2 } [/tex]
от това, че двете трупчета трептят с една и съща честота, следова, че достигат амплитудите си в един и същи момент; следователно [tex] E = max [/tex] когато [tex] E_1 = max; E_2 = max [/tex]
[tex] A_1 = x_{1,0} + \Delta x [/tex] където делта х е разтоянието от което сме го дръпнали, аналогично е и за [tex] A_2 = x_{2,0} + \Delta x [/tex] защото говорим за идеалният случай
та [tex] x_{1,0} \cup x_{2,0} [/tex] са първоначалните отклонения на пружините; след като сме окачили трупчетата на тях им действа [tex] \vec G [/tex], която пък се оръвновесява от еластичната сила [tex] \vec F_e [/tex] следователно [tex] \vec G = \vec F_e \Leftrightarrow m g = x k \Leftrightarrow x = g \frac{ m }{ k } \Leftrightarrow x_{1,0} = g \frac{ m_1 }{ k_1 } \cup x_2 = g \frac{ m_2 }{ k_2 } [/tex]
тъй като амплитудите на двете системи се изменят с [tex] \Delta x [/tex] направо ще разсъждаваме за началният момент [tex] E_1 = \frac{ k_1 x_{1,0}^2 }{ 2 } \cup E_2 = \frac{ k_2 x_{2,0}^2 }{ 2 } \Leftrightarrow E_1 = \frac{ g^2 }{ 2 } \frac{ m_{1,0}^2 }{ k_1 } \cup E_2 = \frac{ g^2 }{ 2 } \frac{ m_{2,0}^2 }{ k_2 } [/tex]
искаме горните изрази да имат максимални сотйности, а те зависят от [tex] \frac{ m^2 }{ k } [/tex]
взимаме всичките стойности за m и k, смятаме ги и излиза, че максимални са при стойностти 3,45 и 2,30
забележка: потенциалната енергия на самите трупчета щеше да омаже много положението

[naitsirk]

щом честотите им съвпадат следва, че и кръговите им честоти съвпадат [tex]\omega=\omega_1=\omega_2[/tex], [tex]\omega_1=\sqrt{\frac{k_1}{m_1 } } [/tex], [tex]\omega_2=\sqrt{\frac{k_2}{m_2 } } [/tex] => [tex]\frac{k_1}{m_1 }=\frac{k_2}{m_2 } [/tex] непосредствено проверяваме, че [tex]k_1=3,m_1=45,k_2=2,m_2=30[/tex] изпълняват условието.