Ирационлно уравнение

[mathinvalidnik]

[tex]\sqrt{x+2\sqrt{x-1} } - \sqrt{x-2\sqrt{x-1} }=2[/tex]

[Реклама]

[NoThanks]

[r2d2]

[tex]\sqrt{x+2\sqrt{x-1} } - \sqrt{x-2\sqrt{x-1} }=2[/tex]

Полагаме [tex]\sqrt {x-1} = u \ge 0\; \Rightarrow x=u^2+1. [/tex]
Получаваме уравнението [tex]\sqrt{u^2+2u+1}-\sqrt{u^2-2u+1}=2.[/tex]

Откъдето [tex]|u+1| - |u-1| =2\;[/tex], но [tex]u\ge 0 \Rightarrow |u+1|=u+1.[/tex]

1. Aко [tex] 0\le u\le 1\; \Rightarrow u+1+u-1=2u=2 \Rightarrow u=1 \Rightarrow x=2.[/tex]

2. При [tex]u>1 \Rightarrow 2=2, \Rightarrow u>1\;[/tex] са решения, което дава x>2.

Окончателно: решения са числата [tex]x \ge 2.[/tex]

[mathinvalidnik]

Ето и решение,за което нотенкс имаше предвид.В подкоренната величина добавяме и изваждаме 1 за да може да се допълни до точен квадрат

[tex]\sqrt{x+2\sqrt{x-1}+1-1 } - \sqrt{x-2\sqrt{x-1}+1-1 }=2[/tex]

[tex]\sqrt{\sqrt{(x-1)^{2}}+2\sqrt{x-1}+1 }-\sqrt{\sqrt{{(x-1)^{2}}}-2\sqrt{x-1}+1}=2 [/tex]

[tex]\sqrt{(\sqrt{x-1}+1)^{2} }-\sqrt{(\sqrt{x-1}-1)^{2} } =2[/tex]

[tex]|\sqrt{x-1}+1|-|\sqrt{x-1}-1|=2[/tex]

но тук първият модул е винаги по-голям от нула понеже подкоренната величина x-1>=0,така че уравнението придобива вида

[tex]\sqrt{x-1}+1-|\sqrt{x-1}-1|=2[/tex]

тук трябва да се определят ДС от подкоренната величина [tex]x-1\ge 0 => x\in [1;+\infty )[/tex]

и от тук вече като модулно неравенство с метода на интервалите приравняваме,това което е в модула на 0

[tex]\sqrt{x-1} -1=0 ; \sqrt{x-1}=1 ; x=2[/tex]

и сега разделяме дефиниционната област на 2 части [tex][-1;2)[/tex] и [tex](2;+\infty )[/tex]

в първата област нямаме решение смисъл..получава се 2 като заместим стойностите,а то не е включено в този интервал.След това разглеждаме и втория интервал където модула е по-голям от нула..

[tex]\sqrt{x-1}+1- \sqrt{x-1}+1=2 <=> \sqrt{x-1}+1=\sqrt{x-1}+1 [/tex]

или това значи,че е изпълнено за всяко и да е x и окончателно решение са [tex]x\in [2;+\infty )[/tex]