Полуправилен(равностенен)тетраедър

[ганка симеонова]

а)Да се докаже че във всеки равностенен тетраедър (съответните му кръстосани ръбове са равни), центровете на описаната и вписаната му сфери съвпадат.

б) Да се намери разстоянието от центъра на вписаната сфера до центъра на една от външновписаните сфери, ако [tex]AD=BC=a; BD=AC=b; CD=AB=c [/tex]

[Реклама]

[NoThanks]

за 1вото: Тъй като всички стени на тетраедъра са еднакви 3ъгълници, то радиусите на описаните около тези триъгълници окръжности също са равни. И тъй като центърът на описаната сфера се проектира ортогонално в центъра на описаната около всяка стена окръжност, то като пуснем тези проекции получаваме еднакви 3ъгълници(еднакви по общата им страна DO, равните радиуси на описаните окр и правите ъгли). От тук следва, че О е на равни разстояния от всички стени на пирамидата, откъдето излиза, че е център на вписаната сфера.