УАСГ 1994

[Zlatinster]

Даден е прав кръгов конус с диаметър на основата 2R и височина R.В конуса е вписана правилна триъгълна призма така че единия и околен ръб лежи в основата на конуса,а срешуположната на този ръб околна стена има върхове върху околната повърхнина на конуса и е успоредна на основата му.Намерете максималния обем на призмата.

Отговор.maxV=√2R³/12

[Реклама]

[_sssss]

Извинявам се за грозния чертеж.
Височината в равностранния триъгълник е x(и разстоянието м/у ABC и стената).
Страната му е a.
x=a*sin60
Два подобни триъгълника.
[tex]a\in(0;2R);[/tex]
Тъй като червеният ъгъл е прав, розовата чертичка е диаметъра(2(R-x)) на сечението.
Питагорова теорема, за да изразим h на призмата, чрез R и a.
После получаваш V(a), която има max за [tex] \normal a=\frac{\sqrt{3}}{3}R[/tex]
Получава се отговора.
Да разписвам или няма нужда?

[Zlatinster]

Разпиши само как намираш Vmax(уравнението)

[_sssss]

[tex]\normal V=\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\sqrt{4R^2 - 4Ra\sqrt{3} + 2a^2}[/tex]

[tex]\normal V=\frac{\sqrt{6}}{4}\sqrt{a^6 - 2Ra^5 \sqrt{3} + 2R^2 a^4}[/tex]

Търсим max на подкоренната величина.

[tex]\normal 6a^5 - 10\sqrt{3}Ra^4 + 8R^2a^3=0\\ a_1=0\\ 3a^2 - 5\sqrt{3}Ra + 4R^2=0 \\ D=27R^2 \; \; \; a_2=\frac{R5\sqrt{3} - R3\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}R \; \; \; a_3=\frac{R5\sqrt{3} + R3\sqrt{3}}{6}=\frac{4\sqrt{3}}{3}R[/tex]

[tex]\searrow a_{1}\nearrow a_{2}\searrow a_{3}\nearrow[/tex]

[tex]max \; V(a)=V\(\frac{\sqrt{3}}{3}R\)[/tex]

Може би първият интервал за a, който бях написала [tex]\normal a\in(0;2(R-x))\rightarrow a\in(0; \frac{2R}{1+sqrt{3}})[/tex] е по-близо до истината. В случая не влияе на решението, но е много важно. Някой ще го определи ли?