Максимално лице на триъгълник

[Spider Iovkov]

Дадена е функцията [tex]f(x)=x^2+1[/tex]. През точка [tex]A[/tex] от графиката на [tex]f(x)[/tex] с абсциса [tex]x_{0}[/tex], където [tex]x_{0}\in [\frac{1}{2};2][/tex], е построена допирателна, която пресича оста [tex]Ox[/tex] в точка [tex]B[/tex]. Ако ортогоналната проекция на [tex]A[/tex] върху абсцисата е [tex]C[/tex], да се пресметне най-голямото лице на [tex]\triangle ABC[/tex].

Бихте ли ми показали как се решава?

[Реклама]

[_sssss]

[tex]\normal S_{ABC}=\frac{AC*BC}{2}[/tex]
[tex]\normal AC=f(x_{0}) \\ x_{0}\in\[\frac{1}{2};2\][/tex]

уравнение на допирателната в т. x₀, за да разберем абсцисата на B, приравняваме на 0.

[tex]\normal f'(x_{0})(x-x_{0}) + f(x_{0})=0 \\ x=\frac{{x_{0}}^2 -1 }{2x_{0}}[/tex]

Очевидно положителна, но и по-малка от x₀, защото ъгълът при допирателната е по-малък от 90°.

[tex]\normal BC=x_{0}-\frac{{x_{0}}^2 - 1}{2x_{0}}[/tex]

[tex]\normal S_{ABC}=({x_{0}}^2+1)*\frac{{x_{0}}^2 + 1}{4x_{0}}=\frac{\({x_{0}}^2 + 1\)^2}{4x_{0}}[/tex]

[tex]\normal max \; S_{ABC}=S(2)=\frac{25}{8}[/tex]

Edit: Малко не мога да смятам.

[Spider Iovkov]

Отговорът е [tex]S_{\triangle ABC}=\frac{15}{8}[/tex], . Впрочем моята идея е същата като твоята, но аз използвах [tex]f'(x_{0})=\tan\varphi[/tex].