Регистрирайте сеРегистрирайте се

Диофантово с факториели


 
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
krainik
Фен на форума


Регистриран на: 01 May 2009
Мнения: 697

Репутация: 51.8
гласове: 44

МнениеПуснато на: Mon Jun 08, 2009 9:12 pm    Заглавие: Диофантово с факториели

Да се намерят всички [tex]x,y,z,t\in\mathbb{N}[/tex], за които:
[tex]x!+y!+z!=2^{t!}[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Mon Jun 08, 2009 11:54 pm    Заглавие:

Б.О.О [tex]x\ge y\ge z[/tex]
при [tex]z\ge 3\Right^{(mod\; 3)} x!+y!+z!\equiv 0\; ;\; 2^{t!}=\pm 1[/tex] - противоречие
[tex]\Right z=1\cup z=2[/tex]

[tex]1)\; z=1\Right x!+y!=2^{t!}-1\equiv^{(mod\; 2)} 1[/tex]

Тъй като [tex]x\ge y[/tex], то при [tex]y\ge 2\Right x!+y!\equiv^{(mod 2)} 0[/tex] - противоречие [tex]\Right[/tex]
[tex]\Right y=1\Right x!=2^{t!}-2\equiv^{(mod\; 2)} 0\Right \\x=2\;\;\cup\; x=3\\2^{t!}=4\;\cup\; 2^{t!}=8\\t!=2\;\;\cup\; t!=3\\t=2\;\;\cup\; H.P.[/tex]

=> Решения са [tex]\fbox{z=y=1,x=2,t=1}[/tex] + цикличните на [tex]x, y[/tex] и [tex]z[/tex](тъй като по допускане [tex]x\ge y\ge z[/tex] )

[tex]2)\; z=2\Right x!+y!=2^{t!}-2, x\ge y\ge 2 \Right^{(mod\; 2)} y=2\cup y=3\Right\\x!=2^{t!}-4\;\;\;\;\; \cup\; x!=2^{t!}-8\\x!\equiv 4(mod\; 8 ) \;\cup\; x!\equiv 8(mod\; 16)\\H.P.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\cup\; x\in \left{4\; ;\; 5\right}[/tex]

Сега При [tex]x=4\Right2^{t!}=32=2^5\right t!=5[/tex] - противоречие
При [tex]x=5\Right 2^{t!}=128=2^7\Right t!=7[/tex] - противоречие, с което задачата е решена:

Решенията за [tex](x,y,z,t)[/tex] са [tex](1,1,2,2)\; ,\; (1,2,1,2)\; ,\; (2,1,1,2).[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martin.nikolov
Напреднал


Регистриран на: 22 Apr 2009
Мнения: 489

Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5
гласове: 21

МнениеПуснато на: Mon Jun 08, 2009 11:58 pm    Заглавие:

Може да предполагаме, че [tex]x\le y\le z[/tex]. Останалите решения се получават като пермутираме [tex]x,y,z[/tex].

Ясно е, че [tex]x\le 2[/tex]. В противен случай лявата страна би се деляла на 3 а дясната не.

Първи случай [tex]x=1[/tex]. Уравнението е [tex] y!+z!=2^{t!}-1[/tex]. Следователно [tex]y=1[/tex], иначе лявата страна би била четна. От тук [tex] z!=2^{t!}-2[/tex]. Дясната страна се дели на 2 но не и на 4. Следователно зет е 2 или 3. Директно се проверява, че 2 може и 3 не може. Решение[tex](x,y,z,t)=(1,1,2,2)[/tex].

Втори случай [tex]x=2[/tex]. Уравнението е [tex] y!+z!=2^{t!}-2[/tex]. Следователно [tex]y[/tex] е 2 или 3. Ако е 2, получаваме [tex]z!=2^{t!}-4[/tex]. Дясната страна се дели на 4 но не и на 8, а за лявата това е невъзмовно. Следователно игрек е 3. От тук [tex]z!=2^{t!}-8[/tex], следователно зет е или 4 или 5. Пак директна проверка(за което ме мързи) води до решенията.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
krainik
Фен на форума


Регистриран на: 01 May 2009
Мнения: 697

Репутация: 51.8
гласове: 44

МнениеПуснато на: Tue Jun 09, 2009 7:56 am    Заглавие:

Задачата не е никак сложна. Решението ми малко се различава от това на Мартин (карайте се за кой то двамата говоря) Laughing Можете да си спестите няколко случая, ако съобразите, че [tex]t\ge2[/tex], тогава [tex]2^{t!}-2=2(2^{t!-1}-1)[/tex] не се дели на 3.
ПП Лесно се доказва, че 2 е единственото просто [tex]p[/tex], удовлетворяващо [tex]x!+y!+z!=p^{t!}[/tex] или въобще [tex]x!+y!+z!=p^k[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Tue Jun 09, 2009 11:19 am    Заглавие:

krainik написа:
ПП Лесно се доказва, че 2 е единственото просто [tex]p[/tex], удовлетворяващо [tex]x!+y!+z!=p^{t!}[/tex] или въобще [tex]x!+y!+z!=p^k[/tex].

Аз пък винаги съм си мислел, че [tex]1!+1!+1!=3^1[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
krainik
Фен на форума


Регистриран на: 01 May 2009
Мнения: 697

Репутация: 51.8
гласове: 44

МнениеПуснато на: Tue Jun 09, 2009 11:20 am    Заглавие:

Добре, извинявам се...Трябва да имаме и ограничението [tex]t\ge2[/tex] и [tex]k\ge2[/tex] съответно. Ако става на въпрос и [tex]1!+2!+2!=5[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2020 math10.com.