ЮЗУ 1994г.

[v1rusman]

зад. В изпъкнал четириъгълник [tex]ABCD[/tex] през средата на диагонала [tex]BD[/tex] е прекарана права, успоредна на другия диагонал [tex]AC[/tex], която пресича страната [tex]AB[/tex] във вътрешна точка [tex]E[/tex]. Лицето на [tex]\Delta BCE[/tex] e [tex]3cm^2[/tex]. Намерете лицето на четириъгълника [tex]ABCD[/tex]. (ЮЗУ, 1994)

[Реклама]

[krainik]

Нека средата на [tex]BD[/tex] да е [tex]S[/tex]. Лесно се вижда, че начупената линия [tex]ASD [/tex] разполовява лицето на [tex]ABCD[/tex], т.е [tex]S_{ASCD}=S_{BESC}[/tex]. От друга страна, [tex]S_{ASC}=S_{AEC}[/tex], защото имат равни основи, а ES||AC. От горното следва, че [tex]S_{AECD}=S_{BEC}[/tex], т.е [tex]S_{BEC}=\frac{1}{2}S_{ABCD}\Rightarrow S_{ABCD}=6sm^2[/tex].
ПП Горе доказахме, че [tex]CE[/tex] разполовява лицето на [tex]ABCD[/tex]. Интересен факт е, че правите, минаващи през 2 от върховете и разполовяващи лицето на четириъгълника [tex]ABCD[/tex], се пресичат в точка от неговата Гаусова права(правата, свързваща средите на диагоналите). Пробвайте да го докажете

[krainik]

Не ви ли харесва задачата, която съм предложил?

[inimitably]

Нека [tex]M[/tex] е среда на [tex]AC[/tex] , [tex]MP || BD[/tex] ([tex]P\in AB[/tex]) и [tex]DP\cap EC=O[/tex]

[tex]S_{ACED}=S_{\triangle BEC}[/tex] (1)

[tex]S_{BPCD}=S_{\triangle APD}[/tex] (2)

От (1) и (2) [tex] \Longrightarrow[/tex] [tex]S_{\triangle EOP}=S_{\triangle OCD}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]CP || ED[/tex]

[tex] \Rightarrow[/tex] [tex]\frac{\overline{OP} }{\overline{OD} }=\frac{\overline{OC} }{\overline{OE} }=\frac{\overline{OM} }{\overline{OS} } [/tex] [tex] \Rightarrow[/tex] [tex]O \in MS[/tex]

[krainik]

Откъде идва това [tex]\frac{OP}{OD}=\frac{OM}{OS}[/tex]?

[inimitably]

Май наистина не стана ясно
[tex] \triangle ESD[/tex] ~ [tex] \triangle MPC[/tex] [tex] \Longrightarrow[/tex] [tex]\frac{\overline{CP} }{ \overline{ED} }=\frac{\overline{MP} }{\overline{SD} }=\frac{\overline{MC} }{\overline{ES} }=\frac{\overline{OP} }{ \overline{OD} }=\frac{\overline{OC} }{\overline{OE} }=\frac{\overline{OM} }{\overline{OS} } [/tex]