Тригонометрия

[Titu_Andrescu]

Да се докаже, че cosA+cosB+cosC≤3/2, ако A+B+C=π.

[Реклама]

[veliko]

cosC = -cos(A+B);
Нека А=cosA+cosB+cosC=cosA+cosB-cos(A+B);
A=2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] - ( 2cos^2[(A+B)/2] - 1 )
Нека cos[(A+B)/2] = t;
A = -2t^2 + 2tcos[(A-B)/2] + 1;
A(max) = f(-b/2a) = f(cos[(A-B)/2]) = ( cos^2[(A-B)/2]+1 ) / 2 =>
A <= 3/2 при cos[(A-B)/2]=1;
=>А=cosA+cosB+cosC <=3/2 , ravenstvo pri A=B=C=п/3