Тетраедър с две по две равни страни

[r2d2]

Ако [tex]AB=DC=a,\;AC=BD=b,\;BC=AD=c\;[/tex] намерете обема на тетраедъра.

[Реклама]

[ганка симеонова]

Около тетраедъра ще опишем паралелепипед. Той се получава, като през всеки ръб на тетраедъра построим равнина, успоредна на кръстосания му ръб.
Когато двойките срещуположни ръбове на тетраедъра са равни, паралелепипедът е правоъгълен (защо?)
Нека означим страните на паралелепипеда с l, m, n. Тогава диагоналите в получените правоъгълници ще са a, b, c.
Прилагайки питагорови теореми получаваме:[tex]l^2+m^2=b^2; l^2+n^2=a^2; m^2+n^2=c^2 [/tex]=>
[tex]l^2=\frac{a^2+b^2-c^2}{ 2} ; m^2=\frac{b^2-a^2+c^2}{ 2} ; n^2=\frac{a^2-b^2+c^2}{2 } [/tex]
Обемът на тетраедъра ще получим, като от обема на прав. паралелепипед извадим обемите на четирите правоъгълни тетраедъра. Тогава
[tex]V_{ABCD}=lmn-\frac{4}{3 } lmn=\frac{1}{3 } lmn=\frac{1}{12 }\sqrt{2(a^2+b^2-c^2)(b^2-a^2+c^2)(a^2-b^2+c^2)} [/tex]

[martosss]

ее тука имаше едно решение на no thanks, къде отиде.. искам да му дам +

[NoThanks]