Вписана окръжност - 10 клас

[brennan]

Вписана в триъгълник АБЦ окръжност има радиус 2 см, допира се до АБ в т.Т, АТ = 10 см и БЦ = 5 см. Намерете Лицето

[Реклама]

[ганка симеонова]

намери периметъра

[Spider Iovkov]

Да означим допирните точки на вписаната окръжност [tex]k[/tex] със страните [tex]BC[/tex] и [tex]AC[/tex] съответно с [tex]N[/tex] и [tex]K[/tex]. Сега, тъй като точка [tex]A[/tex] е външна за [tex]k[/tex], то [tex]AT=AK=10[/tex]. Ако [tex]CK=CN=x[/tex] (също равни допирателни към [tex]k[/tex]), то [tex]BN=BT=5-x[/tex] (пак равни допирателни).
Нека сега [tex]O[/tex] е центърът на [tex]k[/tex] и [tex]\angle TAO=\angle KAO=\alpha \Rightarrow \angle BAC=2\alpha[/tex].
От [tex]\triangle AOT[/tex] получаваме [tex]\tan\angle TAO=\frac{TO}{AT} \Leftrightarrow \tan\alpha=\frac{2}{10} \Leftrightarrow \tan\alpha=\frac{1}{5} \Leftrightarrow \frac{sin\alpha}{cos\alpha}=\frac{1}{5}\, (*)[/tex]. Основното тригонометрично тъждество е [tex]sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\, (**)[/tex]. От [tex](*)[/tex] и [tex](**)[/tex] достигаме до системата
[tex]\begin{array}{||}\frac{sin\alpha}{cos\alpha}=\frac{1}{5}\\ sin^2\alpha+cos^2\alpha\end{array} \Rightarrow sin^2\alpha+(5 sin\alpha)^2=1 \Leftrightarrow 26 sin^2\alpha=1 \Leftrightarrow sin\alpha=\sqrt{\frac{1}{26}} \Rightarrow cos\alpha=5\sqrt{\frac{1}{26}}[/tex].
Пресмятаме [tex]sin2\alpha[/tex]: [tex]sin2\alpha=2 sin\alpha cos\alpha \Leftrightarrow sin2\alpha=\frac{5}{13}[/tex], откъдето [tex]cos2\alpha=\frac{12}{13}[/tex]. Сега прилагаме косинусовата теорема за [tex]\triangle ABC[/tex]:
[tex]BC^2=AC^2+AB^2-2.AC.AB. cos2\alpha \Leftrightarrow 5^2=(15-x)^2+(10+x)^2-2(15-x)(10+x)\frac{12}{13} \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x^2-5x+6=0 \Leftrightarrow x_{1}=3, x_{2}=2[/tex].
Когато [tex]x=3[/tex], то [tex]AC=13, AB=12, BC=5[/tex] и [tex]AB^2+BC^2=AC^2 \Leftrightarrow 12^2+5^2=13^2 \Leftrightarrow \angle ABC=90^\circ \Leftrightarrow S_{\triangle ABC}=\frac{12.5}{2} \Leftrightarrow S_{\triangle ABC}=30[/tex].
Ако [tex]x=2[/tex], имаме [tex]AC=12, AB=13, BC=5 \Leftrightarrow AC^2+BC^2=AB^2 \Leftrightarrow 12^2+5^2=13^2 \Leftrightarrow \angle ACB=90^\circ \Leftrightarrow S_{\triangle ABC}=30[/tex].

[r2d2]

Абе Емо, защо не слушаш Ганка!
p=15 S=pr=30.

И един съвет: На изпита не описвай толкова подробно (като за дебили!)

Малко по-трудна задача:
Дадени са r, AT=m,BT=n да се намери лицето.

[Spider Iovkov]

Аз се старая да пиша разбрано, но невинаги успявам да го съкратя. За изпита наистина е нужно да се описват решения кратко, , тогава няма да имам възможността да се впускам в обяснения.

[_sssss]

На мен пък винаги са ми правили забележка, че пиша съкратено решенията и се старая да го променя от толкова време насам. Сега вече ми стана пълна каша в главата, трябва или не трябва да разтягам лукуми?

@krainik, питам по принцип, не за конкретен ВУЗ, или нещо друго.

[krainik]

Не, не трябва! Разбира се, зависи и къде искаш да влезеш?

[Spider Iovkov]

Да използваме означенията от решението, което пуснах; тогава [tex]AT=AK=m, BT=BN=n, OT=OK=ON=r, \angle TBO=\angle NBO=\varphi \Rightarrow \angle ABC=2\varphi[/tex]; нека и [tex]\angle TAO=\angle KAO=\alpha \Rightarrow \angle BAC=2\alpha[/tex] Ясно е, че [tex]BO=\sqrt{r^2+n^2}, AO=\sqrt{r^2+m^2}[/tex].
От [tex]\triangle BOT \Rightarrow sin\varphi=\frac{r}{\sqrt{r^2+n^2}}, cos\varphi=\frac{n}{\sqrt{r^2+n^2}}[/tex], откъдето [tex]sin2\varphi=2 sin\varphi cos\varphi \Leftrightarrow sin2\varphi=\frac{2rn}{r^2+n^2}\, (*)[/tex]. От [tex]\triangle AOT \Rightarrow sin\alpha=\frac{r}{\sqrt{r^2+m^2}}, cos\alpha=\frac{m}{\sqrt{r^2+m^2}} \Rightarrow sin2\alpha=2 sin\alpha cos\alpha \Leftrightarrow sin2\alpha=\frac{2rm}{r^2+m^2}\, (**)[/tex].
От [tex](*)[/tex] и [tex](**)[/tex] по синусовата теорема определяме [tex]\frac{AC}{sin2\varphi}=\frac{BC}{sin2\alpha}\, (***)[/tex]. Ако [tex]CK=CN=x[/tex], то [tex]AC=m+x, BC=n+x[/tex]. Тогава от [tex](***)[/tex] имаме
[tex]\frac{(m+x)(r^2+n^2)}{\cancel 2 \cancel r n}=\frac{(n+x)(r^2+m^2)}{\cancel 2 \cancel r m} \Leftrightarrow \frac{(m+x)(r^2+n^2)}{n}=\frac{(n+x)(r^2+m^2)}{m} \Leftrightarrow m(m+x)(r^2+n^2)=n(n+x)(r^2+m^2)[/tex].
Оттук [tex]x=\frac{r^2(m+n)}{mn-r^2} \Rightarrow BC=n+x=\frac{m(r^2+n^2)}{mn-r^2}[/tex]. Намираме лицето:
[tex]S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}.AB.BC. sin2\varphi \Leftrightarrow S_{\triangle ABC}=\frac{mrn(m+n)}{mn-r^2}[/tex].

[r2d2]

Без тригонометрия: [tex]m=p-a;\;n=p-b\;c=m+n[/tex]

[tex]S^2=p(p-a)(p-b)(p-c)=p^2r^2 \Rightarrow mn(p-(m+n))=pr^2\Rightarrow p(mn-r^2)=mn(m+n) \Rightarrow p=\frac{mn(m+n)}{mn-r^2}[/tex]

[ганка симеонова]