Числов ред

[Hannibal]

[tex]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^n}{2^n+3^n}[/tex]
Разходящ или сходящ е редът?
Пробвах какво л ине не става все 1.
[tex]f(x)=\frac{3^x}{2^x+3^x} ,x>0[/tex] първата производна доколкото сметнах е винаги положителна => е растяща сумата не става и с интегралния критерий ,така че трябва редът да е разходящ, но трябва да го мажорирам, за да го докажа,но не се сещам с какво. Моля помогнете.

[Реклама]

[martin.nikolov]

[Hannibal]

[tex]lim_{x\to\infty } \frac{3^n}{2^n+3^n}=lim_{x\to\infty } \frac{3^n}{3^n(1+\left( \frac{2}{3 }\right)^n )}=1[/tex]
От това значи ли,че редът е разходящ ?
Може ли с мажориране да ми го покажете?

[martin.nikolov]

[Добромир Глухаров]

[Hannibal]

Много Ви благодаря !!!
А сега пак да питам значи общия член клони към 1 от долу ,т.е. всеки път добявяме нещо по-голямо от 0-ла ,например при обобщения хармоничния ред
[tex]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{ n^p} [/tex] [tex]p\ge 1[/tex] пак добавяме нещо по-голямо от 0-ла и получаваме сходящ..
Моля може ли по-теоритично да ми обясните, защот когато общия член клони към нещо различно от 0-ла редът е разходящ,с парциални суми или нещо от сорта, защото не мога да го проумея.

[Garoll]

Ми като събираш n члена, ако общият член не клони към 0, когато n->oo, няма да имаш сума.

[Hannibal]

От теоритична гледна точка ако съберем Sn парциални суми получаваме нещо ,например [tex]\varphi[/tex] и [tex]S_{n+1}=S_n+1 t.e. \varphi+1[/tex] ,т.е двете парциални суми клонят към различни числа=>разходящ така може ли да се обясни?

[gdimkov]

Необходимо, но не достатъчно, условие един ред да е сходящ е общият му член да клони към нула. Хармоничният ред показва, че това условие не е достатъчно. Но ако това условие е нарушено, редът със сигурност е разходящ.

[gdimkov]

[martin.nikolov]

Само да повторя това което колегата gdimkov вече е написал. Необходимото но недостатъчно условие за сходимост.

Ако [tex]\sum_{n=1}^\infty a_n[/tex] е сходящ, то [tex]\lim_{n\rightarrow\infty} a_n =0[/tex].

Обратното не е вярно.

Ако [tex]\lim_{n\rightarrow\infty} a_n =0[/tex] то реда [tex]\sum_{n=1}^\infty a_n[/tex] може да е сходящ, но може и да е разходящ.

Забележката тук е, че става дума за редове от реални или комплексни числа. Ако работим с р-адични числа, то горните две са еквивалентни. Условието е необходимо и достатъчно. Което прави р-адичния анализ много по леснен(и странен).