Регистрирайте сеРегистрирайте се

Контролни за МОМ'09


 
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
luboslav_p
Начинаещ


Регистриран на: 16 Feb 2008
Мнения: 33
Местожителство: София
Репутация: 12.6
гласове: 7

МнениеПуснато на: Thu Jun 04, 2009 6:49 pm    Заглавие: Контролни за МОМ'09

Ето и задачите контролните:
1 ден
Задача 1. Нека X е вътрешна точка за [tex]\Delta [/tex]ABC и S1=SXBC, S2=SXCA, S3=SXAB. Да се намери възможно най-малкото лице на изпъкнал многоъгълник, съдържащ три отсечки, успоредни и равни на XA, XB и XC.
Задача 2. На дъска е записано в десетична бройна система числото M=9999..9992009 (броят 9-ки е 2008). Да се докаже, че е възможно няколко цифри да бъдат изтрити така, че на дъската да се окаже записано числото 99....992009(броят 9-ки е 2005).
Задача 3. Някои градове в една държава са свързани с директни пътища. Нека t е най-малкото естествено число, за което съществува град, от който може да се достигне до всеки друг град, минавайки по най-много t пътя. Да се докаже, че съществуват градове A1, A2,..., A2t-1, за които два града Аi и Аj (2t-1≥i>j≥1) са свързани с път, тогава и само тогава, когато i-j=1.
2 ден
Задача 4. Дадено е безкрайно множество M от рационални числа такива, че произведението на всеки 2009 от тях (различни) е цяло число, което не се дели на 2009-та степен на просто число. Да се докаже, че всички числа от M са цели.
Задача 5. В [tex]\Delta [/tex]ABC трите външновписани окръжности се допират до страните AB, BC и CA съответно в точки M, N и P. Да се докаже, че ако четериъгълникът AMNP е вписан, то:
а) точките М, P и I са колинеарни, където I е центърът на вписаната в [tex]\Delta [/tex]ABC окръжност;
б) точките I, O и N са колинеарни, където O е центърът на описаната за [tex]\Delta [/tex]ABC окръжност.
Задача 6. На всяка точка X от равнината е съпоставено число rX>0 така, че rX-rY( по модул)≤XY/2 за произволна точка Y. Нека A е непразно множество от точки в равнината, за което ако X е от A и XY=rX, то Y също е от A. Да се докаже, че A е цялата равнина.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
Pinetop Smith
Фен на форума


Регистриран на: 12 May 2007
Мнения: 961
Местожителство: Хасково
Репутация: 153.6Репутация: 153.6
гласове: 87

МнениеПуснато на: Sat Jun 06, 2009 3:56 pm    Заглавие:

Може ли решение на 5?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
inimitably
Редовен


Регистриран на: 13 Nov 2008
Мнения: 102

Репутация: 37.9Репутация: 37.9Репутация: 37.9Репутация: 37.9
гласове: 25

МнениеПуснато на: Wed Jul 15, 2009 5:35 pm    Заглавие:

-5 зад.
Нека [tex]O'[/tex] е център на описаната окръжност около [tex]I_{a}I_{b}I_{c}[/tex].Тогава [tex]\angle I_{c}O'I_{b}=2\angle I_{a}[/tex], но от друга страна [tex]\angle A=180^\circ -2\angle I_{a}[/tex].Ясно е , че от основна задача следва , че [tex]I_{c}O'\bot AB,I_{b}O'\bot AC[/tex], т.е. за да е изпълнено условието трябва [tex]O'\in BC[/tex] или [tex]N\equiv O'[/tex].Тогава нека [tex]I_{c}C\cap(O)=U,I_{b}B\cap (O)=W[/tex].Очевидно описаната окръжност около [tex]\triangle ABC[/tex] се явява като окръжност на 9-те точки за [tex]\triangle I_{a}I_{b}I_{c}[/tex],т.е. [tex]U,W[/tex] са средите съответно на [tex]I_{c}I,I_{b}I[/tex].Сега ще докажем , че [tex]UM\cap PW=Q[/tex] и [tex]Q[/tex] принадлежи на описаната окръжност около [tex]\triangle ABC[/tex].Нека [tex]AO\cap (O)=Q[/tex] , тогава [tex]\angle QUA=\angle QWA=90^\circ [/tex].При стандартни означения [tex]\angle UAM=\frac{\gamma }{ 2}[/tex] , тогава ако [tex]M\in UQ[/tex], то трябва [tex]\angle UMA=90^\circ -\frac{\gamma }{ 2}[/tex] или [tex]\angle I_{c}MU=\frac{\gamma }{2 }[/tex], т.е. трябва [tex]UMNC[/tex] да е вписан в окръжност.Но отново от основа задача имаме , че [tex]\frac{I_{c}M}{I_{c}C }=\frac{UI_{c}}{I_{c}N }=cos{\angle I_{c}} [/tex], т.е. [tex]U,M,N,C[/tex] са на една окръжност.Аналогично [tex]BNPW[/tex] е вписан [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]UM\cap AO\cap WP=Q[/tex].Тогава от Теорема на Паскал за [tex]B,Q,C,W,A,U[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]M,I,P[/tex] са на една права.Очевидно [tex]O,I,N[/tex] са колинеарни , тъй като [tex]OI[/tex] е правата на Ойлер [tex]\triangle I_{a}I_{b}I_{c}[/tex].



mpi.png
 Description:
 Големина на файла:  65.61 KB
 Видяна:  2093 пъти(s)

mpi.png


Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
NoThanks
Гост






МнениеПуснато на: Wed Jul 15, 2009 5:48 pm    Заглавие:

Яката работа е тва решение Surprised А за какво иде реч в тая теорема на Паскал, може ли да обясниш Razz
Върнете се в началото
krainik
Фен на форума


Регистриран на: 01 May 2009
Мнения: 697

Репутация: 51.8
гласове: 44

МнениеПуснато на: Wed Jul 15, 2009 6:58 pm    Заглавие:

Пресечните точки на срещуположните страни на 1 вписан шестоъгълник лежат на 1 права.
ПП Сега видях, че е пусната и тука - http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=2310
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2020 math10.com.