Контролни за МОМ'09

[luboslav_p]

Ето и задачите контролните:
1 ден
Задача 1. Нека X е вътрешна точка за [tex]\Delta [/tex]ABC и S₁=S_XBC, S₂=S_XCA, S₃=S_XAB. Да се намери възможно най-малкото лице на изпъкнал многоъгълник, съдържащ три отсечки, успоредни и равни на XA, XB и XC.
Задача 2. На дъска е записано в десетична бройна система числото M=9999..999²⁰⁰⁹ (броят 9-ки е 2008). Да се докаже, че е възможно няколко цифри да бъдат изтрити така, че на дъската да се окаже записано числото 99....99²⁰⁰⁹(броят 9-ки е 2005).
Задача 3. Някои градове в една държава са свързани с директни пътища. Нека t е най-малкото естествено число, за което съществува град, от който може да се достигне до всеки друг град, минавайки по най-много t пътя. Да се докаже, че съществуват градове A₁, A₂,..., A_2t-1, за които два града А_i и А_j (2t-1≥i>j≥1) са свързани с път, тогава и само тогава, когато i-j=1.
2 ден
Задача 4. Дадено е безкрайно множество M от рационални числа такива, че произведението на всеки 2009 от тях (различни) е цяло число, което не се дели на 2009-та степен на просто число. Да се докаже, че всички числа от M са цели.
Задача 5. В [tex]\Delta [/tex]ABC трите външновписани окръжности се допират до страните AB, BC и CA съответно в точки M, N и P. Да се докаже, че ако четериъгълникът AMNP е вписан, то:
а) точките М, P и I са колинеарни, където I е центърът на вписаната в [tex]\Delta [/tex]ABC окръжност;
б) точките I, O и N са колинеарни, където O е центърът на описаната за [tex]\Delta [/tex]ABC окръжност.
Задача 6. На всяка точка X от равнината е съпоставено число r_X>0 така, че r_X-r_Y( по модул)≤XY/2 за произволна точка Y. Нека A е непразно множество от точки в равнината, за което ако X е от A и XY=r_X, то Y също е от A. Да се докаже, че A е цялата равнина.

[Реклама]

[Pinetop Smith]

Може ли решение на 5?

[inimitably]

-5 зад.
Нека [tex]O'[/tex] е център на описаната окръжност около [tex]I_{a}I_{b}I_{c}[/tex].Тогава [tex]\angle I_{c}O'I_{b}=2\angle I_{a}[/tex], но от друга страна [tex]\angle A=180^\circ -2\angle I_{a}[/tex].Ясно е , че от основна задача следва , че [tex]I_{c}O'\bot AB,I_{b}O'\bot AC[/tex], т.е. за да е изпълнено условието трябва [tex]O'\in BC[/tex] или [tex]N\equiv O'[/tex].Тогава нека [tex]I_{c}C\cap(O)=U,I_{b}B\cap (O)=W[/tex].Очевидно описаната окръжност около [tex]\triangle ABC[/tex] се явява като окръжност на 9-те точки за [tex]\triangle I_{a}I_{b}I_{c}[/tex],т.е. [tex]U,W[/tex] са средите съответно на [tex]I_{c}I,I_{b}I[/tex].Сега ще докажем , че [tex]UM\cap PW=Q[/tex] и [tex]Q[/tex] принадлежи на описаната окръжност около [tex]\triangle ABC[/tex].Нека [tex]AO\cap (O)=Q[/tex] , тогава [tex]\angle QUA=\angle QWA=90^\circ [/tex].При стандартни означения [tex]\angle UAM=\frac{\gamma }{ 2}[/tex] , тогава ако [tex]M\in UQ[/tex], то трябва [tex]\angle UMA=90^\circ -\frac{\gamma }{ 2}[/tex] или [tex]\angle I_{c}MU=\frac{\gamma }{2 }[/tex], т.е. трябва [tex]UMNC[/tex] да е вписан в окръжност.Но отново от основа задача имаме , че [tex]\frac{I_{c}M}{I_{c}C }=\frac{UI_{c}}{I_{c}N }=cos{\angle I_{c}} [/tex], т.е. [tex]U,M,N,C[/tex] са на една окръжност.Аналогично [tex]BNPW[/tex] е вписан [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]UM\cap AO\cap WP=Q[/tex].Тогава от Теорема на Паскал за [tex]B,Q,C,W,A,U[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]M,I,P[/tex] са на една права.Очевидно [tex]O,I,N[/tex] са колинеарни , тъй като [tex]OI[/tex] е правата на Ойлер [tex]\triangle I_{a}I_{b}I_{c}[/tex].

[NoThanks]

Яката работа е тва решение А за какво иде реч в тая теорема на Паскал, може ли да обясниш

[krainik]

Пресечните точки на срещуположните страни на 1 вписан шестоъгълник лежат на 1 права.
ПП Сега видях, че е пусната и тука - http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=2310