ЗМС 2007

[Titu_Andrescu]

Зимни математически състезания
Варна, 9-11 февруари 2007г.

Тема за 9 клас

9.1. Да се намерят всички стойности на реалния параметър p, за които уравнението x²+(p²+1)x+p=2 има два различни реални корена x₁ и x₂ такива, че (2x₁-1)/x₂+(2x₂-1)/x₁=x₁x₂+55/(x₁x₂).

9.2. В триъгълник ABC, AB>BC, точка K от страната AB e такава, че AK=BC+BK. Права l минава през K и е перпендикулярна на AB. Да се докаже, че l, симетралата на AC и външната ъглополовяща при върха B се пресичат в една точка.

9.3. Някои от полетата на квадратна таблица n X n са минирани. Във всяко поле е записано цяло число от 0 до 9, равно на броя на минираните полета сред това поле и съседните му (тези, които имат обща страна или връх с него). Винаги ли е възможно по тази информация да се определи кои полета са минирани, ако:
a) n=2000; б) n=2007?

9.4. Да се намерят всички естествени числа x и y, за които числото (x²+y)(y²+x)=p⁵, където p е просто число.


Тема за 10 клас

10.1. Дадени са функциите f(x)=2x²+2x-4 и g(x)=x²-x+2. Да се определи, за кои стойности на x:
a) f(x)/g(x) e естествено число;
б) e изпълнено неравенството f^1/2(x)+g^1/2(x)≥√2.

10.2. Даден е остроъгълен триъгълник ABC, в който са спуснати височините BB₁ и CC₁ къмстраните AC и AB (B₁ е от страната AC, а C₁ - от AB). Нека M и N са съответно средите на BB₁ и CC₁, P=AM∩CC₁ и Q=AN∩BB₁. Да се докаже, че
a) точките M,N,P и Q лежат на една окръжност;
б) ако точките B,C,P и Q лежат на една окръжност, то триъгълник ABC е равнобедрен.

10.3. Да се намерят всички естиствени числа x,y, за които xy²+2y дели 2x²2+xy²+8x.

10.4. Група от k човека, всеки двама от които се познават, наричаме k-компания.
a) Да се намери минималният брой познанствав група от n човека така, че след запознаване на кои да е двама непознати възниква нова 3-компания.
б) Да се намери минималният брой познанствав група от n човека така, че след запознаване на кои да е двама непознати възниква нова 4-компания.

Тема за 11 клас

11.1. Да се намерят всички стойности на реалния параметър a, за които уравнението x³-ax²+(a²-1)-a²+a=0 има три различни реални корена, които образуват аритметична прогресия.

11.2. В триъгълник ABC, за който <ACB=60°, са прекарани ъглополовящите AA₁ и BB₁ (A₁ е от страната BC, а B₁ - от CA). Правата A₁B₁ пресича описаната около триъгълника окръжност в точки A₂ и B₂.
a) Да се докаже, че правата OI е успоредна на A₁B₁, където О и I са съответно центърът на описаната и на вписаната окръжност за триъгълника ABC.
б) Ако R е средата на дъгата AB, несъдържаща C, а P и Q са съответно средите на A₁B₁ и A₂B₂, да се докаже, че RP=RQ.


11.3. Имаме хартиена лента с дължина 2007. Разрязваме лентата на две части и записваме дължините на две парчета. След това разрязваме едно от двете парчета на две части и отново записваме дължините на новополучените парчета. Продължаваме по този начин докато всички парчета са с дължина 1. Едно разрязване наричаме "лошо", ако двете получени части не са с равни дължини.
a) Да се намери минималния възможен брой "лоши" , разрязвания.
б) Да се докаже, че за всички случаи с минимален брои "лоши" разрязвания броят на различните записани числа е един и същ.

11.4. За всяко естественочисло n полагаме a_n=0, ако броят на делителите на n, които са не по-големи от 2007, е четно число, и a_n=1, ако този брои е нечетно число. Да се определи дали числото α=0,a₁a₂a₃...a_k... e рационално.


Тема за 12 клас

12.1. Даден е куб с ръб 1. Прекарана е равнина, която минава през връх на основата на куба и центровете на двете околни стени, които не го съдържат. Да сe намери отношението, в което сечението на равнината с куба дели неговия обем.

12.2. Нека ABC е правоъгълен триъгълник с катети AC=1 и BC=2. През точка A₁ от катета BC, за която A₁C≠1/3, е прекарана права, успоредна на AB, която пресича AC в точка B₁. Нека C₁ e петата на перпендикуляра от B₁ към AB. През C₁ e прекарана права, успоредна на AC, която пресича BC в точка A₂. Правата през A₂, успоредна на AB, пресича AC в точка B₂ и т.н. Да се пресметне:
a) 3(A₂C-1)/(3A₁C-1) б) lim_n->∞S_AnBnAn.

12.3. Александър и Деница играят следната игра. Александър разрязва (ако е възможно) лента с целочислена дължина на три ленти с целочислени дължини, от които само една е най-дълга. С тази най-дълга лента Деница извършва подобна операция и т.н. Играта печели този, който последен може да разреже получената от другия лента. За кои ленти с дължини точни степени (т.е. a^b,a-1,b-1 - eстествени числа) Деница има печеливша стратегия.

12.4. http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=1029

Автори на задачите:
9.1., 9.2., 9.4. - Петър Бойваленков
9.3. - Ивайло Кортезов
10.1., 10.3., 10.4. - Иван Ланджев
10.2. - Стоян Атанасов
11.1., 11.2., 11.3 - Александър Иванов
11.2, 11.3. - Емил Колев
12.1., 12.4. - Олег Мушкаров
12.2., 12.3. - Николай Николов

[Реклама]

[Spider Iovkov]

Аз имам да питам нещо. Можете ли да ми кажете какви задачи обикновено се падат на олимпиади по математика, защото аз смятам да се явя на такава на 17 март 2007. Ще съм благодарен, ако ми дадете някаква информация.
Забележка: Задачи за 10 клас - алгебра и геометрия.

[Titu_Andrescu]

Няма конкретен отговор. Може да се падне абсолютно всичко, което е достъпно за постигане от десетокласник.

[kisoso]

Мисля, че си объркал малко файла ...
Решения на задачите от ЗМС 2007 Варна

[raliicgomg]

А резултатите?

[kisoso]

Индивидуално класиране!
Отборно Класиране!

[Pepa]

Някой по-горе питаше по темата- та ето какво успях да намеря- все пак е ориентация

http://pmg.stz.bg/index/materials.html
успех

[martosss]

интересна ми е тази задача за 10-ти клас с графите - пада се 10.4 Та не може ли просто да се обясни по следния начин - условието на задачата може да се формулира по следния начин:
ако имаме n точки в равнината да се намери колко най-малко точки трябва да свържем, за да може ако свържим които и да е две несвързани точки да получим триъгълник с върхове три от точките
Аналогично, само че за четириъгълник може да се формулира б).
Искам да питам и дали решението може да е нещо от сорта на:
а) за да може да получим триъгълник като свържем две от точките, то трябва да сме построили другите две страни на триъгълника за всеки две точки.
Освен това ни трябват поне 3 точки в равнината(за да получим триъгълник) - Нека това са А1, А2 и А3.
Нека да свържем А1 с А2 и А3, по този начин при свързване на А2 с А3 получаваме ▲ - използвахме 2 отсечки, тоест n-1.
Ако добавим още една точка(А4) е достатъчно да свържем А1 с тази точка(А4) и отново условието е изпълнено - използвахме 3 отсечки, тоест n-1.
Колкото и точки да добавим е достатъчно да свържем първата точка(А1) с всички останали, тоест използваме n-1 отсечки.

Нека предположим, че има вариант с по-малко от n-1 използвани отсечки, тогава поне 1 точка остава несвързана с никоя друга и ако свържем тази точка с някоя друга няма да получим ▲ => минималният брой е n-1.
б) няма да обяснявам, защото се решава по аналогичен начин, този път се свързват две точки със всички останали, получават се (n-1)+(n-2) връзки, тоест 2n-3.

Моят въпрос е може ли да обясним задачата по подобен начин(а не с графове и ребра, както са я решили авторите, просто защото не знам тази теория ) ?