 Регистрирайте се
| Предишната тема :: Следващата тема |
| Автор |
Съобщение |
nat
Начинаещ
Регистриран на: 04 Oct 2008
Мнения: 18
 
гласове: 2
|
 Пуснато на: Wed Jun 03, 2009 7:51 pm Заглавие: Задачи по геометрия |
|
|
Надявам се да успеете да ми помогнете за тези задачи по геометрия...
| Description: |
|
| Големина на файла: |
89.09 KB |
| Видяна: |
1715 пъти(s) |
|
|
|
| Върнете се в началото |
|
 |
Реклама
|
| Пуснато на: Заглавие: Реклама |
|
|
|
|
|
| Върнете се в началото |
|
|
gdimkov
Напреднал
Регистриран на: 21 Jun 2008
Мнения: 413
Местожителство: София
гласове: 17
|
| Пуснато на: Thu Jun 04, 2009 9:36 am Заглавие: |
|
|
Здравей nat,
С риск да си"навредя" на репутацията трябва да си призная, че отдавна съм забравилкак се работи в пространството. Ако е в равнина, мога да направя някои елементарни неща. Аз, като професионалист, съм аналитик. Сега със съжаление трябва да кажа, че не мога да ти помогна. (Не казвам, че не искам.) Като допълнение без значение в момента: малко нещо е ориентирам, когато се използват векторно-параметрични уравнения в пространството. Но работата в декартови координати ми е мъгла. Още веднъж съжалявам, че не мота да помогна. Желая ти успех.
Георги Димков
|
|
| Върнете се в началото |
|
|
Flame
Редовен
Регистриран на: 24 Mar 2009
Мнения: 213
Местожителство: София
гласове: 16
|
| Пуснато на: Sun Jun 07, 2009 3:33 pm Заглавие: Re: Задачи по геометрия |
|
|
| nat написа: | | Надявам се да успеете да ми помогнете за тези задачи по геометрия... |
Зад 3.13
Дадена е повърхнината:
[tex]S:\left|\begin{array}{c}x=e^{2 (u+v)} \\y=e^{2 (u-v)} \\z=u^2-v^2\end{array}\right.[/tex]
a)
Две неазвисими промрнливи u и v са необходимото и достатъчно условие да параметризират една повърхнина, когато има връзка между тях, повърхнината се превръща в кривава линия.
Зададена е линията чрвз връзката: [tex]c:\left|\begin{array}{c}u=t^2 \\v=-t^2\end{array}\right.[/tex]
Заместваме c в S. Получаваме [tex]S_c(t):\left|\begin{array}{c}x=1 \\y=e^{4.t^2} \\z=0\end{array}\right.[/tex]
За да намерим дължината на тази линия от за t от 0 до 1. Решаваме обичайния криволинеен интеграл
[tex]L=\int_{0}^{1} \sqrt{ (x')^2 +(y')^2+(z')^2}dt= \int_{0}^{1} \sqrt{ 0^2 +(e^{4 t^2})')^2+0^2}dt=\int_{0}^{1} (e^{4 t^2})'dt=\int_{0}^{1} de^{4 t^2}=e^{4 t^2}=e^4-1[/tex]
б)
[tex]c_1:v=u^2-2u , c_2:u+2v-2=0[/tex] Решението на тази система уравнения дава координатите на две точки
[tex]A_{uv}(0,2) B_{uv}(-\frac{1}{2 },\frac{5}{4})[/tex]
[tex]\cos{\alpha }=\frac{F}{+\sqrt{E.G}}[/tex]
Където F,E и G са основните елементи от първи ред
[tex]E(u,v)= (\frac{\partial x}{\partial u})^2+ (\frac{\partial y}{\partial u})^2+(\frac{\partial z}{\partial u})^2[/tex]
[tex]F(u,v)= \frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial y}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v}+\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial z}{\partial v}[/tex]
[tex]G(u,v)= (\frac{\partial x}{\partial v})^2+ (\frac{\partial y}{\partial v})^2+(\frac{\partial z}{\partial v})^2[/tex]
[tex]E(u,v)=4 \left(u^2+e^{4 u-4 v}+e^{4 (u+v)}\right)[/tex]
[tex]F(u,v)=-4 u v-4 e^{4 u-4 v}+4 e^{4 (u+v)}[/tex]
[tex]G(u,v)=4 \left(e^{4 u-4 v}+e^{4 (u+v)}+v^2\right)[/tex]
[tex]E(2,0)=4 (4+2 e^ [/tex]
[tex]F(2,0)=0[/tex]
[tex]G(2,0)=4e^8[/tex]
[tex]\cos{\alpha }=0 => \alpha =\frac{\pi }{2}[/tex]
[tex]E( -\frac{1}{2},\frac{5}{4} )=4 \left(\frac{1}{4}+\frac{1}{e^7}+e^3\right)[/tex]
[tex]F( -\frac{1}{2},\frac{5}{4})=\frac{5}{2}-\frac{4}{e^7}+4 e^3[/tex]
[tex]G( -\frac{1}{2},\frac{5}{4})=4 \left(\frac{25}{16}+\frac{1}{e^7}+e^3\right)[/tex]
[tex] \cos {\beta }=\frac{\frac{5}{2}-\frac{4}{e^7}+4 e^3}{4 \sqrt{\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{e^7}+e^3\right)\left(\frac{25}{16}+\frac{1}{e^7}+e^3\right)}}[/tex]
[tex]\cos{\beta }\approx 0.986998[/tex]
в)
Гаусовата кривина се дефинира:
[tex]K=\frac{h_{11}h_{22}-h_{12}^2}{g_{11}g_{22}-g_{12}^2} [/tex]
Средната кривина се дефинира:
[tex]H=\frac{g_{11} h_{22} + g_{22} h_{11} - 2 g_{12} h_{12}}{2 (g_{11} g_{22} - g_{12}^2)}[/tex]
където h и g са скаларни произведения на елементите на първа и втора основна форма на повърхнината
[tex]\vec{ve(x_{u,v},y_{u,v},z_{u,v})} [/tex]-вектор образуван от параметричните уравнения на повърхнината
[tex]g_{11}=\frac{\partial ve}{\partial u}. \frac{\partial ve}{\partial u}[/tex]
[tex]g_{12}=\frac{\partial ve}{\partial u}. \frac{\partial ve}{\partial v}[/tex] => скаларни произведения
[tex]g_{22}=\frac{\partial ve}{\partial v}. \frac{\partial ve}{\partial v}[/tex]
За [tex]h_{i,j}[/tex] ни е необходим един нормален вектор, него го намираме така:
[tex]\vec{N}=\vec{\frac{\partial ve}{\partial u}} \times\vec{\frac{\partial ve}{\partial v}} [/tex]
[tex]h_{11}=N.\frac{\partial^2 ve}{\partial u^2} [/tex]
[tex]h_{12}=N.\frac{\partial^2 ve}{\partial u \partial v } [/tex] => скаларни произведения
[tex]h_{22}=N.\frac{\partial^2 ve}{\partial v^2} [/tex]
Това е минимално възможнана теория. За конкретния случай имаме:
[tex]g_{11}=4 \left(u^2+e^{4 u-4 v}+e^{4 (u+v)}\right)[/tex]
[tex]g_{12}=-4 u v-4 e^{4 u-4 v}+4 e^{4 (u+v)} [/tex]
[tex]g_{22}=4 \left(e^{4 u-4 v}+e^{4 (u+v)}+v^2\right)[/tex]
[tex]\vec{N} =\left\(4 e^{2 (u-v)} (u-v),4 e^{2 (u+v)} (u+v),-8 e^{4 u}\right\)/(4 e^{2 u})[/tex]
[tex]\vec{N} =\left\(e^{-2 v} (u-v),e^{2 v} (u+v),-2 e^{2 u}\right\)[/tex]
[tex]h_{11}=4 e^{2 u} (2 u-1)[/tex]
[tex]h_{12}=-8 e^{2 u} v[/tex]
[tex]h_{22}=4 e^{2 u} (2 u+1)[/tex]
За гаусовата кривина получаваме:
[tex]K=\frac{e^{4 v} \left(4 u^2-4 v^2-1\right)}{(u-v)^2+4 e^{4 (u+v)}+e^{8 v}(u+v)^2}[/tex]
За средната кривина получаваме:
[tex]H=\frac{e^{-2 u} \left((2 u+1) e^{4 v} \left(u^2-v^2\right)+4 e^{4 u} (u-v)+4e^{4 u+8 v} (u+v)\right)}{2 \left((u-v)^2+4 e^{4 (u+v)}+e^{8 v}(u+v)^2\right)}[/tex]
Ако заместим [tex]K(u,v)=K(t,t)= -\frac{e^{-4 t}}{4 t^2+4}[/tex]
За интеграла, който трябва да се реши получаваме:
[tex]\int_{}^{ } K(t,t).\frac{-e^{4 t}}{t}dt=-\int_{}^{ } \frac{1}{t (4 t^2+4)}dt=\frac{1}{8} \left(\ln|t^2+1|-2 \ln |t|\right)+C[/tex]
Внимание!!!
Само при така намерен нормален вектор N (умножен със скалар [tex]\frac{1}{4 e^{2 u}}[/tex] се получавa решим интеграл. (Този вектор всъщност трябва де е единичен |N|=1).Да се има на предвид, че и двете кривини са зависими от този вектор. Много от сметките изпуснах...
Ще се радвам да обсъдим това решение колеги!
Успех nat!
|
|
| Върнете се в началото |
|
|
|
|
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
You cannot attach files in this forum
Може да сваляте файлове от този форум
|
|
Меню
