Да се намерят всички естествени числа n, за които е изпълнено неравенството abc(an+bn+cn)≤3, където a,b,c са положителни числа и a+b+c=3.
Коментар: Хубава задача, но не разбрах защо решението, което предлага авторът е толкова оплетено. Тук ще представя едно мое доста по-елементарно решение, което би могло да се реализира от всеки, които знае неравенството между С.А.-С.Г.
Решение. За n=2 ще докажем, че неравенството е вярно.
Нека a+b+c=3u, ab+bc+ca=3v2, abc=w3.
Тогава v4-uw3=18-1((ab-bc)2+(bc-ca)2+(ca-ab)2)≥0.
Следователно v4≥uw3.
Сега ще докажем, че (a+b+c)5≥81abc(a2+b2+c2), за всички положителни числа a,b,c. Док-во:
(a+b+c)5-abc(a2+b2+c2)=243u5-81w3(9u2-6v2)=243(u5+2v2w3-3u2w3)=
243((u5+v2w3+v2w3)-3u2w3)≥243(3(u5v4w6)1/3-3u2w3)≥243(3(u5uw3w6)1/3-3u2w3)=0.
Следователно (a+b+c)5≥81abc(a2+b2+c2) и съграсно даденото: 3≥abc(a2+b2+c2).
За n=1 също е вярно, защото 1=(a+b+c)/3≥(abc)1/3, което е еквивалентно на abc≤1 или abc(a+b+c)≤3, което искахме да докажем.
Остана да покажем, че за n≥3, даденото неравенство не е вярно.
Нека a=b=1/2 и c=2. Тогава очевидно (1/2)n+2n/2≥3, за всяко n≥3.
Съжалявам, че отказах на учителя ми да участвам в състезанието, просто нямах тази възможност .
Коментираите. |
Меню
Регистрирайте се
