Регистрирайте сеРегистрирайте се

Неравенството от ЗМС 2007г.


 
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Titu_Andrescu
Напреднал


Регистриран на: 28 Oct 2006
Мнения: 370

Репутация: 68.9
гласове: 29

МнениеПуснато на: Mon Feb 12, 2007 4:03 pm    Заглавие: Неравенството от ЗМС 2007г.

Да се намерят всички естествени числа n, за които е изпълнено неравенството abc(an+bn+cn)≤3, където a,b,c са положителни числа и a+b+c=3.

Коментар: Хубава задача, но не разбрах защо решението, което предлага авторът е толкова оплетено. Тук ще представя едно мое доста по-елементарно решение, което би могло да се реализира от всеки, които знае неравенството между С.А.-С.Г.

Решение. За n=2 ще докажем, че неравенството е вярно.
Нека a+b+c=3u, ab+bc+ca=3v2, abc=w3.
Тогава v4-uw3=18-1((ab-bc)2+(bc-ca)2+(ca-ab)2)≥0.
Следователно v4≥uw3.

Сега ще докажем, че (a+b+c)5≥81abc(a2+b2+c2), за всички положителни числа a,b,c. Док-во:
(a+b+c)5-abc(a2+b2+c2)=243u5-81w3(9u2-6v2)=243(u5+2v2w3-3u2w3)=
243((u5+v2w3+v2w3)-3u2w3)≥243(3(u5v4w6)1/3-3u2w3)≥243(3(u5uw3w6)1/3-3u2w3)=0.
Следователно (a+b+c)5≥81abc(a2+b2+c2) и съграсно даденото: 3≥abc(a2+b2+c2).

За n=1 също е вярно, защото 1=(a+b+c)/3≥(abc)1/3, което е еквивалентно на abc≤1 или abc(a+b+c)≤3, което искахме да докажем.

Остана да покажем, че за n≥3, даденото неравенство не е вярно.
Нека a=b=1/2 и c=2. Тогава очевидно (1/2)n+2n/2≥3, за всяко n≥3.

Съжалявам, че отказах на учителя ми да участвам в състезанието, просто нямах тази възможност .

Коментираите.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
Titu_Andrescu
Напреднал


Регистриран на: 28 Oct 2006
Мнения: 370

Репутация: 68.9
гласове: 29

МнениеПуснато на: Mon Feb 12, 2007 4:17 pm    Заглавие:

Дано темата за неравенства присъства все повече и повече в БГ олимпиади. Успех на всички!
(Titu) Smile
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
administrator
Site Admin


Регистриран на: 12 Oct 2005
Мнения: 284
Местожителство: София(Варна)
Репутация: 45.6Репутация: 45.6Репутация: 45.6Репутация: 45.6Репутация: 45.6
гласове: 14

МнениеПуснато на: Sat Feb 24, 2007 8:26 pm    Заглавие:

Отговори на задачите от Зимните математически състезания - 9-12 клас
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя Yahoo Messenger
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.