Четвърта пропорционална

[ганка симеонова]

Даден е триъгълник АВС със страни а, b, c и [tex]\angle ABC>90^\circ [/tex], за който е в сила равенството [tex]R=\frac{b^2-a^2}{2c } [/tex]. От върха В към страната АВ е издигнат перпендикуляр, който пресича АС в точка D. Да се докаже, че отсечката BD е четвърта пропорционална на страните на триъгълника.

[Реклама]

[r2d2]

Какво е 4етвърта пропорционална?

[ганка симеонова]

[tex]\frac{a}{b } =\frac{c}{ d} [/tex]
Всяка една от отсечките е четвърта пропорционална на останалите три

[NoThanks]

От косинусова теорема за ABC => [tex]b^2=a^2+c^2-2accos{\beta} => a cos{\beta} = \frac{c}{2} - \frac{b^2-a^2}{2c} => a cos{\beta} = \frac{c}{2} - R[/tex] От синусова теорема за ABC обаче => [tex]a=2Rsin\alpha \; c=2Rsin(\alpha+\beta)[/tex] =>[tex]2Rsin\alpha cos\beta=Rsin(\alpha+\beta)-R =>2sin\alpha cos\beta = sin(\alpha+\beta)-1 => sin(\alpha-\beta)=-1 => \alpha - \beta = -90 => \beta = 90+\alpha[/tex] От последното следва, че [tex]\angle{DBC}=\alpha=\angle{BAC}[/tex] и съответно ▲ABC≈▲BDC =>[tex]\frac{BD}{c}=\frac{a}{b}[/tex]