Разстояние между центровете

[estoyanovvd]

Окръжностите [tex]k_{1}(O_{1};r_{1})[/tex] и [tex]k_{2}(O_{2};r_{2})[/tex] се пресичат в точки [tex]A[/tex] и [tex]B[/tex]. Върху правата [tex]AB[/tex] е взета точка [tex]C[/tex] и са построени допирателните [tex]CH[/tex] и [tex]CT[/tex], съответно към [tex]k_{1}[/tex] и [tex]k_{2}[/tex]. Ако [tex]HT=8[/tex], [tex]r_{1}=2\sqrt{5} [/tex], [tex]r_{2}=3\sqrt{5} [/tex], [tex]cos \angle TCH=- \frac{3}{5 } [/tex], да се пресметне дължината на отсечката [tex]O_{1}O_{2}[/tex].

[Реклама]

[estoyanovvd]

Не е от сборник!!! Снощи я измъдрих. Това, разбира се, не означава, че не се използват други известни факти!!! Моля, който ги знае, да не ги пусне само тях, а да даде цяло решение!!! Ако може и Ганка, Баронов и r2d2 да изчакат, ще бъде супер за кандидатстудентите.

[NoThanks]

От Th за допирателните, приложена за CT i CH имаме: [tex]CH^2 = CA.CB=CT^2 => CH=CT[/tex] От тук 3ъгълник CHT е равнобедрен и от косинусова теорема намираме [tex]CH=CT=2\sqrt{5}[/tex] Сега нека [tex]\angle{CHT}=\varphi[/tex] пак от косинусова теорема на намираме: [tex]cos\varphi = \frac{4.5+64-4.5}{2.2\sqrt{5}.8} = \frac{2\sqrt{5}}{5}[/tex] Изнасяме [tex]HTO_{2}O_{1}[/tex] Тъй като [tex]OH \perp CH => \angle{O_{1}HT}=90-\varphi[/tex] И сега като сме намерили косинус фи, а О1Х = r1 намираме [tex]O_{1}K \perp TH = 4 \; HK=2[/tex] Аналог. в 3ъгълник TPO2 [tex]PO2=6 => QO2=2 \; PT=3 => KP=8-2-3 = 3[/tex] => в 3ъгълник [tex]O1QO2 => O1O2^2 = 4+9 = 13 => O1O2=\sqrt{13}[/tex]

[estoyanovvd]

Тъй, тъй!!! Може и така - [tex]\Delta HTD[/tex] е равнобедрен и ако означим [tex]HD=TD=x[/tex], с косинусовата теорема лесно намираме [tex]x=4\sqrt{5} [/tex]. След това отново с помоща на косинусовата теорема за триъгълника [tex]O_{1}O{2}D[/tex] намираме лесно [tex]O_{1}O_{2}=\sqrt{13} [/tex].