Неравенство

[Saposto_MM]

Обобщение на едно от неравенствата на Коши намерено от Буняковски и Шварц (независимо един от друг).
Нека [tex]f[/tex] и [tex]g[/tex] са интегрируеми функции. Тогава
[tex]\int^{a}_{b}f^{2}\left(x\right)dx\int^{a}_{b}g^{2}\left(x\right)dx\ge \left(\int^{a}_{b}f\left(x\right)g\left(x\right)dx\right)^{2}[/tex].
Докажете!
Понастоящем е известно като "Неравенство на Коши-Буняковски-Шварц".
С това неравенство се решава на два реда 6-та задача от тазгодишната НОМ.

[Реклама]

[martin.nikolov]

Не искам да ти цапам темата, но искам да кажа, че тези неравенста от алгебрчна гледна точка са едно и също неравенство и идеята за доказателството(едно от доказателствата) е лесна. И тя е следната.

Във всеки от случайте имаме множество, което е линейно пространство, и 'скаларно' произведение, което означаваме с [tex] \langle a,b \rangle[/tex]. В горния пример, множеството е множеството от интегрируеми фунции и скаларното пройзведение е

[tex] \langle f(x),g(x)\rangle = \int_a^b f(x)g(x)dx[/tex]

Друг пример е векторите в равнината и обикновеното скаларно произведение. Друг пример е наредени n-торки от реални числа с произведение: умножаваме съответните координати и събираме. Друг пример е шеста задач, малък вариант на предния пример.

Във всички случай може да се докаже, че произведението има следните свойства. Някой са очевидни, някой може да са по-трудни. В абстрактния случай свойствата се постулират като част от дефиницията на скаларно произведение. Ето ги своиствата:

[tex]\langle a,b \rangle =\langle b,a \rangle[/tex]

[tex]\langle \lambda a, b\rangle = \lambda\langle a,b \rangle [/tex]

[tex]\langle a_1+a_2,b\rangle \langle a_1,b\rangle +\langle a_2, b\rangle [/tex]

[tex]\langle a,a\rangle \ge 0[/tex]

Неравенството на Коши написано с означението на скаларно пройзведение е

[tex]\langle a,a\rangle \langle b,b\rangle \ge \langle a,b\rangle^2[/tex]

Доказателството е следното. Изпозват се горните свойства и знания за квадратен тричлен.

Нека [tex]t[/tex] е променлива, тогава

[tex]\langle ta+b,ta+b\rangle\ge 0[/tex]

Това като се разпише се получзва

[tex]\langle a,a\rangle t^2+2\langle a,b\rangle t +\langle b,b\rangle \ge 0 [/tex]

Това за да е вярно за всяко [tex]t[/tex] трябва дискриминантата да е неположителна, което е и исканото неравенството.

(Над комплексните числа, трябва малко да се променят нпкои неща.)