 Регистрирайте се
| Предишната тема :: Следващата тема |
| Автор |
Съобщение |
dope
Начинаещ
Регистриран на: 30 May 2009
Мнения: 2
 
|
 Пуснато на: Sat May 30, 2009 11:28 pm Заглавие: Троен Интеграл |
|
|
Здравейте.
Някой ще има ли възможност да ми помогне за една задача.
[tex]\int_{}^{ } \int_{}^{ } \int_{}^{ } dxdydz[/tex]
[tex]v: z=4-x^2-y^2 ; z=0[/tex]
Ако може и обяснения при решенията, защото асистентката ни реши, че не е нужно да учим троен интеграл, но не вижда нищо лошо в това, да ни го даде за точки.
Ще бъда изключително благодарен ако някой ми помогне. |
|
| Върнете се в началото |
|
 |
Реклама
|
| Пуснато на: Заглавие: Реклама |
|
|
|
|
|
| Върнете се в началото |
|
|
Flame
Редовен
Регистриран на: 24 Mar 2009
Мнения: 213
Местожителство: София
гласове: 16
|
| Пуснато на: Sun May 31, 2009 9:49 am Заглавие: Re: Троен Интеграл |
|
|
| dope написа: | Здравейте.
Някой ще има ли възможност да ми помогне за една задача.
[tex]\int_{}^{ } \int_{}^{ } \int_{}^{ } dxdydz[/tex]
[tex]v: z=4-x^2-y^2 ; z=0[/tex]
Ако може и обяснения при решенията, защото асистентката ни реши, че не е нужно да учим троен интеграл, но не вижда нищо лошо в това, да ни го даде за точки.
Ще бъда изключително благодарен ако някой ми помогне. |
Ще реша задачата по 3 начина защото не се сещам за четвърти:
Обемното тяло , на което трябва да се изчисли обема е ротационен параболоид имащ максимум в точката Z(0,0)=4 и затворео отдолу с равнина z=0.
Първи начин
Като за начало има си формула по която се изчислява обема тя е:
[tex]V=\frac{1}{2}.\pi r^2 h,[/tex] където
r е радиуса на онази окръжност която се получава при пресичането на равнината и параболоида [tex] z=0 => x^2+y^2=2^2, r=2[/tex]
h в случая при [tex] x=0, y=0 => h=z=4[/tex]
[tex]V= \frac{1}{2}.\pi 2^2.4=8.\pi[/tex]
Втори начин
Това е ротационно тяло, има си и теория, и формули за намитране на обем на такива тела:
Ротацията е около ос z тогава ни тябва проекция в една от равнините [tex]Ozx , Ozy[/tex]
Озбирам [tex]Ozy[/tex] при [tex] x=0, z=4-y^2,=> y=\sqrt{4-z}[/tex]
Решението се дава с формулата:
[tex]V=\pi \int_{z_1}^{z_2}y(z)^2dz= \pi \int_{0}^{4}(\sqrt{4-z})^2dz=\pi \int_{0}^{4}(4-z)dz=8.\pi [/tex]
Трети начин
Това е което асистента иска да види и да пише някакви точки (по мое време нямаше точким, който искаше се учеше и проблеми нямаше, руските книжарнищи бяха пълни с литература, която се харчеше като топъл хляб, беше време.....).
Така, съдбоносен е избора на координатна система за лесното решение на тройния интеграл. Най- леко и елегантно се получава в цилиндрична координатна система.
Смяната от декартови в цилиндрични е:
[tex]x=r.\cos{\varphi}[/tex]
[tex]y=r.\sin{\varphi}[/tex]
[tex]z=u[/tex]
При преминаване от декартови в цилиндрични, за еквивалентност на решенията е необходимо да се приравнят диференциалите:
[tex]dxdydz=|J|dudrd\varphi[/tex]
J е якобияна на смяната и се намира с една детерминанта от производни, която има вид:
[tex]J=det{\begin{\frac{\partial x}{\partial r} \ \frac{\partial x}{\partial \varphi } \ \frac{\partial x}{\partial u} \\ \frac{\partial y}{\partial r} \ \frac{\partial y}{\partial \varphi } \ \frac{\partial y}{\partial u} \\ \frac{\partial z}{\partial r} \ \frac{\partial z}{\partial \varphi } \ \frac{\partial z}{\partial u}}}=det{\begin{\frac{\partial x}{\partial r} \ \frac{\partial x}{\partial \varphi } \\ \frac{\partial y}{\partial r} \ \frac{\partial y}{\partial \varphi } }}=r[/tex] -(това е видно дори без да се смята)
[tex]dxdydz=r.dudrd\varphi[/tex]
Идва най- важната част определяне на границите на променливите:
u се изменя от равнинета z=0, т.е от u=0, до параболоида, заместваме цилиндричните координати в декартовото уравнение на параболоида: [tex] u=4-(r.\cos{\varphi })^2-(r.\sin{\varphi })^2, => u=4-r^2[/tex]
За [tex]r[/tex] правим следното замествамр [tex]z=0[/tex] в пароболоида, получаваме окръжността:[tex] x^2+y^2=2^2[/tex], заместваме [tex](r.\cos{\varphi })^2+(r.\sin{\varphi })^2=2^2, => r=2[/tex]
За [tex]\varphi [/tex] това е ъгъла който ротира проекцията например в [tex]Ozx[/tex] около z, ротацията е от [tex]0[/tex] до [tex]2.\pi[/tex]
И така:
[tex]\left|\begin{array}{c}0\leq u\leq 4-r^2 \\0\leq r\leq 2 \\0\leq \varphi \leq 2.\pi\end{array}[/tex]
Решаваме троен интеграл:
[tex]\int_{0}^{2.\pi } [\int_{0}^{2} [\int_{0}^{4-r^2}r.du]dr]d\varphi =\int_{0}^{2.\pi } [\int_{0}^{2}(4-r^2)r.dr]d\varphi = \int_{0}^{2.\pi }4.d\varphi = 8.\pi [/tex]
ПП Е това е, решенията на интегралите малко съкратих, супер са елементарни.
Успех...
Последната промяна е направена от Flame на Sun May 31, 2009 11:23 am; мнението е било променяно общо 1 път |
|
| Върнете се в началото |
|
|
hadd
Начинаещ
Регистриран на: 31 May 2009
Мнения: 2
|
| Пуснато на: Sun May 31, 2009 10:34 am Заглавие: |
|
|
Някой ще помогне ли и на мен с този интеграл, моля.
[tex]\int_{}^{ } \int_{}^{ } \int_{}^{ } (x^2+y^2)dxdydz[/tex]
[tex]v: x^2+y^2+z^2=R^2[/tex] |
|
| Върнете се в началото |
|
|
Flame
Редовен
Регистриран на: 24 Mar 2009
Мнения: 213
Местожителство: София
гласове: 16
|
| Пуснато на: Sun May 31, 2009 11:27 am Заглавие: |
|
|
| hadd написа: | Някой ще помогне ли и на мен с този интеграл, моля.
[tex]\int_{}^{ } \int_{}^{ } \int_{}^{ } (x^2+y^2)dxdydz[/tex]
[tex]v: x^2+y^2+z^2=R^2[/tex] |
Ще покажеш ли до къде стигаш и какво не е ясно? |
|
| Върнете се в началото |
|
|
Flame
Редовен
Регистриран на: 24 Mar 2009
Мнения: 213
Местожителство: София
гласове: 16
|
| Пуснато на: Sun May 31, 2009 11:53 am Заглавие: |
|
|
Благодаря на:
Schrodinger
ferry2
zizi
Garoll
Всички те са ми давали точки, а аз не съм благодарил.
Благодаря Ви! |
|
| Върнете се в началото |
|
|
hadd
Начинаещ
Регистриран на: 31 May 2009
Мнения: 2
|
| Пуснато на: Sun May 31, 2009 12:05 pm Заглавие: |
|
|
Наистина до никъде.
Асистенката ни с dope ни е една и съща, както на тях, така и нас пропусна да ни обясни задачаите за троерн интеграл. |
|
| Върнете се в началото |
|
|
Flame
Редовен
Регистриран на: 24 Mar 2009
Мнения: 213
Местожителство: София
гласове: 16
|
| Пуснато на: Sun May 31, 2009 1:40 pm Заглавие: |
|
|
| Flame написа: | | hadd написа: | Някой ще помогне ли и на мен с този интеграл, моля.
[tex]\int_{}^{ } \int_{}^{ } \int_{}^{ } (x^2+y^2)dxdydz[/tex]
[tex]v: x^2+y^2+z^2=R^2[/tex] |
Ще покажеш ли до къде стигаш и какво не е ясно? |
Добре да видим и тук как стоят нещата, това е сфера без никакви ограничения,
Не е никакво откритие че подходящата координатна система е сферичната .
Сферичните координато са:
[tex]x = r cos{\varphi } cos{\theta}[/tex]
[tex]y = r sin{\varphi } cos{\theta}[/tex]
[tex]z = r sin{\theta}[/tex]
Следващата стъпка е якобияна: J=?
[tex]dxdydz=|J|drd\theta d\varphi[/tex]
J е якобияна на смяната и се намира с една детерминанта от производни, която има вид:
[tex]J=det{\begin{\frac{\partial x}{\partial r} \ \frac{\partial x}{\partial \varphi } \ \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial r} \ \frac{\partial y}{\partial \varphi } \ \frac{\partial y}{\partial \theta} \\ \frac{\partial z}{\partial r} \ \frac{\partial z}{\partial \varphi } \ \frac{\partial z}{\partial \theta}}}=r^2.\cos{\theta}[/tex] -това не е много видно, но ако се потрудите ще получите този отговор
[tex]dxdydz=r^2.\cos{\theta}drd\theta d\varphi[/tex]
Идва най- важната част - границите
Понеже това е централна сфера достатъчно е да намерим решението в първи октант, и след това да го умножим по 8. Така ще спазим един принцип в математиката с ужасно много изиключения- колкото повече нули - толкова по-добре (всички долни граници на интегралите ще бъдат 0).
r ще се изменя (като вектор) от 0, до уравнението на сферата [tex]x^2+y^2+z^2=R^2[/tex], като се заместят сферичните координати и се опрости се стигадо r=R- горна граница.
За следващите две променливи понеже това е централна сфера ъгълът в равнината [tex] Oxy-\varphi [/tex] ще се изменя в целия първи октант, това означава от [tex]0[/tex] до [tex]\frac{\pi}{2}[/tex], за[tex] \theta [/tex] важат същите разсъждения тои също в първи октант е от [tex]0[/tex] до [tex] \frac{\pi}{2} [/tex]
Или границите са:
[tex]\left|\begin{array}{c}0\leq r\leq R \\0\leq \theta\leq \frac{\pi }{2} \\0\leq \varphi \leq \frac{\pi }{2} \end{array}[/tex]
Така за тестване на границите е полезно да се реши следния троен интеграл:
Още сега умножаваме интеграла с 8 за да не забравим....
[tex]8.\int_{0}^{\frac{\pi }{ 2} }[\int_{0}^{\frac{\pi }{ 2} }[\int_{0}^{R}r^2 \cos{\theta}dr]d\theta]d\varphi =?[/tex]
Отговора на този интеграл не може нищо друго да бъде освен познатия на всички обем на сфера [tex]\frac{4}{3}\pi R^3[/tex]
Ние имаме да решим:
[tex]8.\int_{0}^{\frac{\pi }{ 2} }[\int_{0}^{\frac{\pi }{ 2} }[\int_{0}^{R}( (r cos{\varphi } cos{\theta})^2+ (r sin{\varphi } cos{\theta})^2 )r^2 \cos{\theta}dr]d\theta]d \varphi=8.\int_{0}^{\frac{\pi }{ 2}}[\int_{0}^{\frac{\pi }{ 2} }[\int_{0}^{R}r^4 \cos^3{\theta}dr]d\theta]d\varphi=8.\frac{R^5}{5}\int_{0}^{\frac{\pi }{ 2} }[\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\cos^3{\theta}d\theta]d\varphi[/tex]
Тик е удачно да представим :
[tex] \cos^3{\theta} =\frac{1}{4}.(3.\cos{\theta}+\cos{3\theta})[/tex]
[tex]\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{1}{4}.(3.\cos{\theta}+\cos{3\theta})d\theta=\frac{2}{3} [/tex]- това са таблични интеграли и няма как да Ви затруднят.
И последно:
[tex]8.\frac{R^5}{5} \frac{2}{3} \int_{0}^{\frac{\pi }{ 2}}d\varphi=8.\frac{R^5}{5}. \frac{2}{3}.\frac{\pi }{2}=\frac{8\pi R^5}{15}[/tex]
ПП Поздрави на асистента, който не решава задачи!
Успех!....
Последната промяна е направена от Flame на Sun May 31, 2009 3:03 pm; мнението е било променяно общо 5 пъти |
|
| Върнете се в началото |
|
|
dope
Начинаещ
Регистриран на: 30 May 2009
Мнения: 2
|
| Пуснато на: Sun May 31, 2009 1:45 pm Заглавие: |
|
|
Благодаря изключително много.  |
|
| Върнете се в началото |
|
|
rampage
Начинаещ
Регистриран на: 08 Jan 2009
Мнения: 3
|
| Пуснато на: Mon Jun 01, 2009 5:23 pm Заглавие: |
|
|
Първо много благодаря на Flame (имаше една тема за ЛаГранж, на която той ми отговори). И имам една задача, която е 100% като тези и все пак не мога да реша!  Ако на някой му се занимава нека я реши, аз ще съм много благодарен !
Да се намери обема на тялото: К: x2 + y2 + z=2; z=√x2 + y2
Благодаря отново и отивам да си блъскам главата, пък може и нещо да измисля |
|
| Върнете се в началото |
|
|
Flame
Редовен
Регистриран на: 24 Mar 2009
Мнения: 213
Местожителство: София
гласове: 16
|
| Пуснато на: Mon Jun 01, 2009 7:36 pm Заглавие: |
|
|
| rampage написа: | Първо много благодаря на Flame (имаше една тема за ЛаГранж, на която той ми отговори). И имам една задача, която е 100% като тези и все пак не мога да реша! Ако на някой му се занимава нека я реши, аз ще съм много благодарен !
Да се намери обема на тялото: К: x2 + y2 + z=2; z=√x2 + y2
Благодаря отново и отивам да си блъскам главата, пък може и нещо да измисля |
Така, благодаря за високата оценка и за плюса...
Имам вътрешното усещане, че с тази задача ще се справиш сам(а). Ще помогна с най-трудната част. Това са две черупки които се пресичат централно и затварят обем между тях. Координатната система, коятo ти трябва е цилиндричната.
Якобияна е същия както по-горе.
Така u се изменя от тялото [tex]z=\sqrt{ x^2+y^2 }[/tex] до [tex]z=2 - x^2 - y^2[/tex]
След заместване на цилиндричните координати в изразите се получава, от [tex]u=z=r[/tex] до [tex]u=2-r^2[/tex].
Интересното и рубикона в тази задача е как да се определят границите на r. Долната граница е 0, това е винаги така за централно разположени тела. Горната става така. От двете тела елиминираме [tex]x^2+y^2[/tex] и достигаме до квадратно уравнение за z
[tex]z^2+z-2=0[/tex], то има решение z=-2 и z=1.
Тук трябва бързо да съобразим, че -2 не е решение на [tex]z=\sqrt{ x^2+y^2 }[/tex] ,остава [tex]z=1[/tex]. при [tex]z=1[/tex] и двете уравнения показват една и съща окръжност [tex]1^2=x^2+y^2[/tex], на нас това ни трябва. Това е сечението на двете тела-окръжност и точно до тази окръжност е горната граница на r. Заместваме с цилиндричните координати в [tex]1^2=x^2+y^2[/tex] и получаваме [tex]r=1[/tex].
[tex]\varphi [/tex] се изменя от [tex] 0[/tex] до [tex]2.\pi[/tex] - един пълен оборот.
Или:
[tex]r\le u\le 2-r^2[/tex]
[tex]0\le r\le1[/tex]
[tex]0\le \varphi \le 2.\pi[/tex]
Всики интеграли, които имаш да решиш са от тип [tex]\int_{}^{ }x^ndx[/tex]- това няма как да те затрудни - сигурен съм!
[tex]\int_{0}^{2.\pi } [\int_{0}^{1} [\int_{r}^{2-r^2}r.du]dr]d\varphi =\frac{5}{6}.\pi [/tex]
Успех!...
|
|
| Върнете се в началото |
|
|
|
|
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
|
|
Меню
