Първи ден
Задача 1. Естествените числа [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] са такива, че [tex]a>b>1[/tex] и уравнението
[tex]\frac{a^{x}-1}{a-1}=\frac{b^{y}-1}{b-1}[/tex]
има поне две различни решения в естествени числа [tex]x>1[/tex] и [tex]y>1[/tex]. Да се докаже, че числата [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] са взаимнопрости.
Задача 2. Вписаната в [tex]\Delta ABC[/tex] окръжност е с център [tex]I[/tex] и допира страните му [tex]BC[/tex], [tex]AC[/tex] и [tex]AB[/tex] съответно в точки [tex]A_{1}[/tex], [tex]B_{1}[/tex] и [tex]C_{1}[/tex]. През [tex]I[/tex] е построена права [tex]l[/tex]. Точките [tex]A'[/tex], [tex]B'[/tex] и [tex]C'[/tex] са симетрични съответно на [tex]A_{1}[/tex], [tex]B_{1}[/tex] и [tex]C_{1}[/tex] относно [tex]l[/tex]. Да се докаже, че правите [tex]AA'[/tex], [tex]BB'[/tex] и [tex]CC'[/tex] се пресичат в една точка.
Задача 3. През точките с целочислени координати в правоъгълна координатна система [tex]Oxyz[/tex] са построени равнини, успроредни на координатните равнини и по този начин пространството е разбито на единични кубчета. Да се намерят всички тройки [tex]\left(a,b,c\right)[/tex], [tex]a\le b\le c[/tex], от естествени числа, за които кубчетата могат да бъдат оцветени в [tex]abc[/tex] цвята така, че всеки паралелепипед с размери [tex]aXbXc[/tex] , целочислени върхове и стени, успоредни на координатните равнини, не съдържа еднакво оцветени кубчета.
Втори ден
Задача 4. Нека [tex]n\ge 3[/tex] е естествено число. Да се намерят всички неконстантни полиноми с реални коефициенти [tex]f_{1}\left(x\right),f_{2}\left(x\right),\ldots,f_{n}\left(x\right)[/tex], за които
[tex]f_{k}\left(x\right)f_{k+1}\left(x\right)=f_{k+1}\left(f_{k+2}\left(x\right)\right)[/tex][tex], [/tex][tex]1\le k\le n[/tex],
за всяко реално число [tex]x[/tex] (като [tex]f_{n+1}\left(x\right)\equiv f_{1}\left(x\right)[/tex] и [tex]f_{n+2}\left(x\right)\equiv f_{2}\left(x\right)[/tex]).
Задача 5. Изпъкнал 2009-ъгълник е разбит на триъгълници чрез непресичащи се диагонали. Един от тези диагонали е оцветен в зелено. Разрешена е следната операция: за два триъгълника [tex]ABC[/tex] и [tex]BCD[/tex] от разбиването с обща страна [tex]BC[/tex] можем да заменим диагонала [tex]BC[/tex] с диагонала [tex]AD[/tex], като, ако замененият диагонал е бил зелен той губи цвета си и заменилият го става зелен. Да се докаже, че всекип редварително избран диагонал на 2009-ъгълника може да бъде оцветен в зелено след прилагане на разрешената операция краен брой пъти.
Задача 6. Да се докаже, че ако [tex]a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}[/tex], [tex]b_{1},b_{2},\ldots,b_{n}[/tex] са произволни реални числа, а [tex]c_{1},c_{2},\ldots,c_{n}[/tex]
са положителни реални числа, то
[tex]\left(\sum_{i,j=1}^{n}\frac{a_{i}a_{j}}{c_{i}+c_{j}}\right)\left(\sum_{i,j=1}^{n}\frac{b_{i}b_{j}}{c_{i}+c_{j}}\right)\ge \left(\sum_{i,j=1}^{n}\frac{a_{i}b_{j}}{c_{i}+c_{j}}\right)^{2}[/tex].
|
Меню
Регистрирайте се
