Регистрирайте сеРегистрирайте се

НОМ Национален Кръг 29-30 Май 2009г.


 
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Saposto_MM
Напреднал


Регистриран на: 02 Apr 2007
Мнения: 383
Местожителство: Панагюрище
Репутация: 124.4
гласове: 67

МнениеПуснато на: Sat May 30, 2009 5:35 pm    Заглавие: НОМ Национален Кръг 29-30 Май 2009г.

Първи ден

Задача 1. Естествените числа [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] са такива, че [tex]a>b>1[/tex] и уравнението
[tex]\frac{a^{x}-1}{a-1}=\frac{b^{y}-1}{b-1}[/tex]
има поне две различни решения в естествени числа [tex]x>1[/tex] и [tex]y>1[/tex]. Да се докаже, че числата [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] са взаимнопрости.

Задача 2. Вписаната в [tex]\Delta ABC[/tex] окръжност е с център [tex]I[/tex] и допира страните му [tex]BC[/tex], [tex]AC[/tex] и [tex]AB[/tex] съответно в точки [tex]A_{1}[/tex], [tex]B_{1}[/tex] и [tex]C_{1}[/tex]. През [tex]I[/tex] е построена права [tex]l[/tex]. Точките [tex]A'[/tex], [tex]B'[/tex] и [tex]C'[/tex] са симетрични съответно на [tex]A_{1}[/tex], [tex]B_{1}[/tex] и [tex]C_{1}[/tex] относно [tex]l[/tex]. Да се докаже, че правите [tex]AA'[/tex], [tex]BB'[/tex] и [tex]CC'[/tex] се пресичат в една точка.

Задача 3. През точките с целочислени координати в правоъгълна координатна система [tex]Oxyz[/tex] са построени равнини, успроредни на координатните равнини и по този начин пространството е разбито на единични кубчета. Да се намерят всички тройки [tex]\left(a,b,c\right)[/tex], [tex]a\le b\le c[/tex], от естествени числа, за които кубчетата могат да бъдат оцветени в [tex]abc[/tex] цвята така, че всеки паралелепипед с размери [tex]aXbXc[/tex] , целочислени върхове и стени, успоредни на координатните равнини, не съдържа еднакво оцветени кубчета.

Втори ден

Задача 4. Нека [tex]n\ge 3[/tex] е естествено число. Да се намерят всички неконстантни полиноми с реални коефициенти [tex]f_{1}\left(x\right),f_{2}\left(x\right),\ldots,f_{n}\left(x\right)[/tex], за които
[tex]f_{k}\left(x\right)f_{k+1}\left(x\right)=f_{k+1}\left(f_{k+2}\left(x\right)\right)[/tex][tex], [/tex][tex]1\le k\le n[/tex],
за всяко реално число [tex]x[/tex] (като [tex]f_{n+1}\left(x\right)\equiv f_{1}\left(x\right)[/tex] и [tex]f_{n+2}\left(x\right)\equiv f_{2}\left(x\right)[/tex]).

Задача 5. Изпъкнал 2009-ъгълник е разбит на триъгълници чрез непресичащи се диагонали. Един от тези диагонали е оцветен в зелено. Разрешена е следната операция: за два триъгълника [tex]ABC[/tex] и [tex]BCD[/tex] от разбиването с обща страна [tex]BC[/tex] можем да заменим диагонала [tex]BC[/tex] с диагонала [tex]AD[/tex], като, ако замененият диагонал е бил зелен той губи цвета си и заменилият го става зелен. Да се докаже, че всекип редварително избран диагонал на 2009-ъгълника може да бъде оцветен в зелено след прилагане на разрешената операция краен брой пъти.

Задача 6. Да се докаже, че ако [tex]a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}[/tex], [tex]b_{1},b_{2},\ldots,b_{n}[/tex] са произволни реални числа, а [tex]c_{1},c_{2},\ldots,c_{n}[/tex]
са положителни реални числа, то
[tex]\left(\sum_{i,j=1}^{n}\frac{a_{i}a_{j}}{c_{i}+c_{j}}\right)\left(\sum_{i,j=1}^{n}\frac{b_{i}b_{j}}{c_{i}+c_{j}}\right)\ge \left(\sum_{i,j=1}^{n}\frac{a_{i}b_{j}}{c_{i}+c_{j}}\right)^{2}[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
mousehack
Напреднал


Регистриран на: 30 Dec 2007
Мнения: 437
Местожителство: SOFIA
Репутация: 46.9Репутация: 46.9Репутация: 46.9Репутация: 46.9Репутация: 46.9
гласове: 17

МнениеПуснато на: Sat May 30, 2009 5:59 pm    Заглавие:

А за 8 клас,случайно някои да ги има ... Laughing Rolling Eyes
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martin.nikolov
Напреднал


Регистриран на: 22 Apr 2009
Мнения: 489

Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5
гласове: 21

МнениеПуснато на: Sat May 30, 2009 8:08 pm    Заглавие:

За четвъртата получавам, че само това

[tex]f_k(x)=x^2[/tex]

е решение. Сега ме мързи да се проверя сметките, може и да съм сбъркал. Предпочитам да мисля някоя друга.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Pinetop Smith
Фен на форума


Регистриран на: 12 May 2007
Мнения: 961
Местожителство: Хасково
Репутация: 153.6Репутация: 153.6
гласове: 87

МнениеПуснато на: Sun May 31, 2009 10:57 am    Заглавие:

Moже ли резултати?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
nakata
Начинаещ


Регистриран на: 30 Mar 2009
Мнения: 22
Местожителство: Пловдив
Репутация: 2.6Репутация: 2.6
гласове: 1

МнениеПуснато на: Tue Jun 02, 2009 1:23 pm    Заглавие:

Класирането http://www.minedu.government.bg/opencms/export/sites/mon/left_menu/olympiad/position/09-math_protokol_rezultati_nac_ol.pdf


09_math_nac_krag_29-30maj_9-12kl-reshenia.pdf
 Description:

Свали
 Име на файл:  09_math_nac_krag_29-30maj_9-12kl-reshenia.pdf
 Големина на файла:  267.11 KB
 Свален:  633 пъти(s)

Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martin.nikolov
Напреднал


Регистриран на: 22 Apr 2009
Мнения: 489

Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5
гласове: 21

МнениеПуснато на: Tue Jun 02, 2009 4:53 pm    Заглавие:

Интересно зад.6 никой не е решил. На мен тя ми се струва най-лесна.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
luboslav_p
Начинаещ


Регистриран на: 16 Feb 2008
Мнения: 33
Местожителство: София
Репутация: 12.6
гласове: 7

МнениеПуснато на: Tue Jun 02, 2009 9:46 pm    Заглавие:

Как така най-лесна?!? Има ли някакво тривиално решение?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martin.nikolov
Напреднал


Регистриран на: 22 Apr 2009
Мнения: 489

Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5
гласове: 21

МнениеПуснато на: Tue Jun 02, 2009 9:53 pm    Заглавие:

luboslav_p написа:
Как така най-лесна?!? Има ли някакво тривиално решение?


Вариация на тема неравенство на Коши. Ако човек и виждал как се доказват различни варианти на неравенството не е трудна.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ADaskalov
Начинаещ


Регистриран на: 22 Sep 2007
Мнения: 15

Репутация: 5.9Репутация: 5.9Репутация: 5.9Репутация: 5.9Репутация: 5.9
гласове: 1

МнениеПуснато на: Wed Jun 03, 2009 1:49 pm    Заглавие:

От чисто любопитство, някой знае ли Боби Вълков защо не е ходил на националния кръг?

ПС: А Любо не знам защо питаш за тривиално решение на 6та след като в брошурата има едно на 3 реда Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
zhivko_sh
Начинаещ


Регистриран на: 22 Feb 2008
Мнения: 37

Репутация: 20.5Репутация: 20.5
гласове: 12

МнениеПуснато на: Wed Jun 03, 2009 2:15 pm    Заглавие:

Понеже ще следва във Франция и имал май някакви изпити по френски по време на МОМ или нещо такова и затова сигурно е решил, че няма смисъл да ходи на националната.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
luboslav_p
Начинаещ


Регистриран на: 16 Feb 2008
Мнения: 33
Местожителство: София
Репутация: 12.6
гласове: 7

МнениеПуснато на: Wed Jun 03, 2009 7:30 pm    Заглавие:

ADaskalov написа:
От чисто любопитство, някой знае ли Боби Вълков защо не е ходил на националния кръг?

ПС: А Любо не знам защо питаш за тривиално решение на 6та след като в брошурата има едно на 3 реда Wink


Еййй, верно бе. Интегралното неравенство на Коши. Как не се сетих? Онзи ден точно го разправях на деветгодишната ми сестра.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2020 math10.com.