Задача от || кръг МО 1978 г., Добрич

[sisoko15]

Даден е лъч с начало О и окръжност, която се допира до раменете му в точки А и В. От т. А, успоредно на ОВ е прекаран лъч, който пресича окръжността в т.С. Отсечката ОС пресича окръжността в точка Е, а правите АЕ и ОВ се пресичат в точка К. Докажете, че ОК=КВ.

Мисля, че тази задача е включена в раздел "Метрични зависимости в правоъгълен триъгълник" от сборника на Паскалев за 9. клас.

[Реклама]

[ганка симеонова]

[ins-]

Вероятно под "лъч" с начало О се има в предвид ъгъл.

[sisoko15]

Знам, че лъч няма рамене. Условието е по-долу.

Тогава госпожата ми каза, че ще се реши с подобие на триъгълници.

[tex]\triangle OKE \approx \triangle AKO[/tex]

[tex]\frac{OK}{AK}=\frac{KE}{KO}=\frac{OE}{AO}[/tex]

[tex]=>KO^2=AK.KE (1)[/tex]

[tex]\triangle KBE \approx \triangle KAB[/tex]

[tex]\frac{KB}{KA}=\frac{BE}{AB}=\frac{KE}{KB}[/tex]

[tex]=>KB^2=AK.KE (2)[/tex]

=> от (1) и (2) следва, че [tex]KO=KB[/tex]

[ins-]

Само да допълня, че задачата вероятно е публикувана и в стари броеве на сп. "Математика", защото я има в "Сборник задачи за факултативна подготовка" по геометрия /зелен/ от Руси Русев, базиран на задачи от сп. "Математика". В него има и други красиви задачи, но като цяло нищо особено трудно.