страни на тъпоъгълен тр-к

[charlie_eppes]

Да се намерят страните на тр-к АВС по дадени [tex]\angle ACB=120; m_c=\sqrt{\frac{19}{2}}; l_c=\frac{15}{8}[/tex]

[Реклама]

[naitsirk]

от косинусова теорема:
[tex]c^2=a^2+b^2+ab[/tex]
от формулата за ъглополовяща:
[tex]l_c=\frac{2ab}{a+b }.cos60=\frac{ab}{a+b } [/tex]
от формулата за медиана:
[tex]m_{c} ^{2}=\frac{1}{4 }(2a^2+2b^2-c^2) [/tex]
система от 3 уравнения с 3 неизвестни, която не би трябвало да те затрудни

[mathinvalidnik]

[charlie_eppes]

[naitsirk]

еми косинусовата теорема дето аз съм я учил гласи, че [tex]c^2=a^2+b^2-2ab.cos\gamma [/tex] [tex]\gamma =120[/tex] => [tex]cos\gamma =-\frac{1}{2 } [/tex]

[mathinvalidnik]

[naitsirk]

има грешка в условието! Трябва да е [tex]m_c^2=\frac{\sqrt{19} }{2 } [/tex]. В този случай системата приема вида:
[tex]c^2=a^2+b^2+ab[/tex]
[tex]4m_c ^2=4.\frac{19}{4 }=19=2a^2+2b^2-c^2 [/tex]
[tex]l_c=\frac{15}{8 }=\frac{ab}{a+b } [/tex]
от първото уравнение заместваме [tex]c^2[/tex] във второто и получаваме:
[tex]a^2+b^2-ab-19=0[/tex] прибавяме и вадим [tex]2ab[/tex]
[tex]a^2+2ab+b^2-3ab-19=0[/tex]
[tex](a+b)^2-3ab-19=0[/tex]
от третото уравнение: [tex]ab=\frac{15}{8 }(a+b) [/tex] и заместваме в горното уравнение.
[tex](a+b)^2-\frac{3.15}{8 }(a+b)-19=0 [/tex]
полагаме [tex]a+b=t[/tex] и умножаваме по 8.
[tex]8t^2-45t-152=0[/tex]
[tex]D=83^2[/tex]
[tex]t=\frac{14\pm 83}{16 } [/tex] като положителния корен е [tex]t=a+b=8[/tex].
Заместваме в израза за ъглополовящата и намираме [tex]ab=15[/tex]
Получихме, че:
[tex]a+b=8[/tex]
[tex]ab=15[/tex]
Откъдето намираме [tex]a=3[/tex], [tex] b=5[/tex] или [tex]a=5[/tex], [tex]b=3[/tex]
Заместваме в израза от косинусова теорема и намираме [tex]c=7[/tex]