Прави на Симпсън през диаметрално противоположни точки

[mousehack]

Правите на Симпсън за диаметрално противоположните точки [tex] P [/tex] и [tex]Q[/tex] се пресичат в точката [tex] K[/tex].Да се докаже,че [tex] K[/tex] лежи върху Ойлеровата окръжност.
УСПЕХ

[Реклама]

[ганка симеонова]

По тази задача има мноого писане, поне според мен.
Първо трябва да се докаже, че ако [tex]s_p[/tex] е права на Симпсън за точка Р от описаната окр, Н- ортоцентър и [tex]M=s_p\cap PH[/tex], то [tex]PM=MH[/tex] и [tex]M\in k_9 [/tex]
След това трябва да се докаже, че ако P и Q са диаметралните точки и [tex]N=s_Q\cap QH[/tex], то [tex]\angle MKN= \angle (s_p; s_Q)=\frac{1}{2 } PQ [/tex](дъга)

[mousehack]

За тези,които не знаят какво е Ойлерова окръжност :
http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=4096

[Пафнутий]

Това, което е написала Ганка не е цялостно решение, а просто част от него. Тези св-ва са достатъчно известни, както и техните доказателства, че можем без никаква вина да ги използваме наготово. Ще използвам означенията на Ганка, както и свойствата. Лесно се забелязва, че [tex]M,E_{9},N[/tex] лежат на 1 права. Това е, защото [tex] M,E_{9},N\longright^{h(H,2)}P,O,Q[/tex]. От друга страна, защото [tex]\angle MKN=90^\circ[/tex] , то е достатъчно да докажем, че [tex]M[/tex] или [tex]N[/tex] лежат на [tex]k_{9}[/tex]. Това, разбира се, следва директно от факта, че [tex]k_{9}\longright^{h(H,2)} k[/tex] и понеже [tex]P\in k[/tex], то [tex]M\in k_{9}[/tex], откъдето следва и твърдението в задачата.