Няколко задачи..

[soultaker]

Значи сега се мъча тука с няколко задачи ето ги :
1.Даден е [tex]\Delta [/tex]ABC, в който AB=[tex]\sqrt{31} [/tex] и [tex]\angle [/tex]ACB=60°.Върху страната AC е взета точка D такава, че AD=3. Намерете BC, ако BD=2[tex]\sqrt{7} [/tex]
Отговор:6.

Значи аз намирам ъгъл DAB с косинусова теорема в т-ник ABD, но се полуачава [tex]\frac{2}{\sqrt{31} } [/tex] и като пробвам косинусова теорема на ъгъл ABD и ADB пак получавам някви такива гадни дроби....


2.За [tex]\Delta [/tex]ABC e известно, че a:b:c = 1:[tex]\sqrt{3} [/tex]:k и β=120°.Да се намерят k и [tex]\alpha [/tex]
Отговор:8см,15см.

За тази задача нямам никва идея, защото тези отношения въобще не мога да ги оправя..


3.За триъгълник е дадено, че c=42,[tex]m_{c}[/tex]=3[tex]\sqrt{41} [/tex], [tex]l_{c}[/tex]=16 . Намерете a и b.
Упътване:Положете а+b=x,ab=[tex]y^{2}[/tex] и съставете система за x и y.




Предварително Благодаря!!!!

[Реклама]

[Spider Iovkov]

Задача 1. Нека [tex]\angle ADB=\varphi[/tex]. Тогава [tex]\angle BDC=180^\circ-\varphi[/tex]. От [tex]\triangle ABD[/tex] по косинусовата теорема намираме [tex]cos\varphi=\frac{1}{2\sqrt{7}} \Rightarrow sin\varphi=\frac{3}{2}\sqrt{\frac{3}{7}}[/tex], а от синусовата за [tex]\triangle BCD \ - \ \frac{BD}{sin 60^\circ}=\frac{BC}{sin\varphi} \Leftrightarrow BC=6[/tex].
Задача 3. Означаваме [tex]BC=a, \, AC=b, \, AB=c=42, \, CM=m_{c}=9\sqrt{41}, \, CL=l_{c}=16[/tex]. От свойството на ъглополовящата в триъгълника имаме [tex]\frac{CA}{CB}=\frac{LA}{LB}=\frac{b}{a} \Rightarrow LA=bx, \, LB=ax[/tex]. Тогава [tex](a+b)x=c \Leftrightarrow (a+b)x=42 \Leftrightarrow x=\frac{42}{a+b}[/tex]. Оттук лесно намираме и изрази за дължините на двете отсечки: [tex]LA=\frac{42b}{a+b}, \, LB=\frac{42a}{a+b}[/tex].
Ние вече знаем, че [tex]l_{c}^2=ab-mn[/tex], където [tex]m[/tex] и [tex]n[/tex] са отсечките, на които ъглополовящата [tex]l_{c}[/tex] дели страната [tex]c[/tex]. Тогава записваме [tex]ab-\frac{42.42.ab}{(a+b)^2}=256 \, (1)[/tex].
От [tex]CM \ - \[/tex] медиана, [tex]\Rightarrow m_{c}^2=\frac{1}{4}(2a^2+2b^2-c^2) \Leftrightarrow 9.41.4=2b^2+2a^2-42^2 \Leftrightarrow 2(a^2+b^2)-2.21.42=9.41.2.2 \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (a+b)^2-2ab-21.42=9.41.2 \, (2)[/tex].
От [tex](1)[/tex] и [tex](2)[/tex] достигаме до системата [tex]\begin{array}{||} 256=v-\frac{1764v}{u^2} \\ u^2-2v-882=738 \end{array}[/tex], където сме положили [tex]a+b=u[/tex] и [tex]ab=v[/tex]. Системата е еквивалентна на [tex]\begin{array}{||} 256u^2=u^2v-1764v \\ u^2-2v=1620 \end{array}[/tex]. От първото уравнение получаваме [tex]v=\frac{256u^2}{u^2-1764}[/tex], а от второто [tex]\ - \ v=\frac{u^2-1620}{2}[/tex]. Отчитаме, че [tex]v>0 \Leftrightarrow u^2>1764[/tex] и приравняваме двата израза, откъдето [tex]\frac{256u^2}{u^2-1764}=\frac{u^2-1620}{2} \Leftrightarrow u^4-3896u^2+2857680=0 \Leftrightarrow u^2=2916 \, \cup \, u^2=980 \Leftrightarrow u=54 \Rightarrow v=648[/tex].
Връщаме се в положеното [tex]\ - \ \begin{array}{||} a+b=u \\ ab=v \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{||} a+b=54 \\ ab=648 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{||} a_{1}=18 \\ b_{1}=36 \end{array} \cup \begin{array}{||} a_{2}=36 \\ b_{2}=18 \end{array}[/tex].
Страните са [tex]18[/tex] и [tex]36[/tex].

[_sssss]

Задача 2 е само със sinT.
[tex]\frac{x\sqrt{3}}{sin 120^\circ }=\frac{x}{sin \alpha} \\ sin \alpha = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \alpha = 30^\circ [/tex]
Сега излиза, че <C=30 и триъгълникът е равнобедрен. Оттук k=1.