Около окръжност с радиус r е описан трапец ABCD

[Миро]

Докато си решавах задачи от един сборник попаднах на следната задача:


Около окръжност с радиус r е описан трапец ABCD.Ако М,N,P и Q са допирните точки на окръжността съответно със страните AB,BC,CD и DA,да се докаже,че AM.BN.CP.DQ=[tex]r^{4}[/tex]

Задачата е за 9-ти клас и предполагам,че ще се реши с метрични зависимости в правоъгълен триъгълник,но не можах да измисля решение.Пробвайте се и ако някой може да я реши моля напишете решението.
PS А може и задачата да се решава много лесно,но аз да не съм забелязал

[Реклама]

[Миро]

Извинете,че изобщо ви занимавах с това.
Сетих се за престъпно лесно решение.

[ганка симеонова]

Нека О е центърът на вписаната окр. Тогава [tex]\angle AOD=\angle BOC=90^\circ (why?)[/tex] и радиусите [tex]OQ; ON[/tex] са височини в [tex]\Delta AOD; \Delta BOC[/tex]
=>[tex]\Delta AOD=>r^2=AQ.QD=AM.QD [/tex]. Аналогоично, от [tex]\Delta BOC=>r^2=BN.CN=BN.PC [/tex]=>
[tex]r^4=AM.BN.CP.DQ [/tex]