Регистрирайте сеРегистрирайте се

Интересно свойство на тр. АВС с АВ + АС = 2ВС


 
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Pinetop Smith
Фен на форума


Регистриран на: 12 May 2007
Мнения: 961
Местожителство: Хасково
Репутация: 153.6Репутация: 153.6
гласове: 87

МнениеПуснато на: Sat May 23, 2009 7:31 pm    Заглавие: Интересно свойство на тр. АВС с АВ + АС = 2ВС

Даден е тр. АВС, в който АВ + АС = 2ВС. Вписаната в триъгълника окръжност се допира до АВ и АС съответно в точки D и E, а М е средата на ВС. Да се докаже, че отсечката АМ се разполовява от DE.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
zhivko_sh
Начинаещ


Регистриран на: 22 Feb 2008
Мнения: 37

Репутация: 20.5Репутация: 20.5
гласове: 12

МнениеПуснато на: Sat May 23, 2009 8:33 pm    Заглавие:

Изразяваш S(ADE) към S(ABC) по 2 начина и се получава Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Pinetop Smith
Фен на форума


Регистриран на: 12 May 2007
Мнения: 961
Местожителство: Хасково
Репутация: 153.6Репутация: 153.6
гласове: 87

МнениеПуснато на: Sat May 23, 2009 9:06 pm    Заглавие:

Същото решение измисли и ММ. Можеш ли да се сетиш за нещо друго? Smile
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
zhivko_sh
Начинаещ


Регистриран на: 22 Feb 2008
Мнения: 37

Репутация: 20.5Репутация: 20.5
гласове: 12

МнениеПуснато на: Sun May 24, 2009 7:18 am    Заглавие:

Да, може и с вектори Very Happy . Почти същата сметка е Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
v1rusman
Напреднал


Регистриран на: 18 Jul 2007
Мнения: 318

Репутация: 39.5Репутация: 39.5Репутация: 39.5Репутация: 39.5
гласове: 10

МнениеПуснато на: Sun May 24, 2009 6:09 pm    Заглавие:

@zhivko_sh: Може ли да обясниш по какъв начин ги изразяваш тези лица (че даже и 2 пъти) ? Какви формули използваш ?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
zhivko_sh
Начинаещ


Регистриран на: 22 Feb 2008
Мнения: 37

Репутация: 20.5Репутация: 20.5
гласове: 12

МнениеПуснато на: Sun May 24, 2009 6:56 pm    Заглавие:

Да, извинявам се, че не съм написал нито едно пълно решение Confused . Нека AM пресича DE в K. При стандартните означения от условието следва, че AD=AE=BM=MC=a/2. Тогава (първо изразяване) [tex] S(ADE)=\frac{AE}{AC } . \frac{AD}{ AB}. S(ABC)=\frac{a}{2b }.\frac{a}{2c } .S [/tex]. Второ изразяване: [tex] S(ADE)=S(ADK)+S(AKE)=\frac{AD}{ AB} .\frac{AK}{AM }.\frac{S}{ 2} +\frac{AE}{AC }.\frac{AK}{AM }.\frac{S}{ 2} =\frac{AK}{AM } .\frac{S}{ 2} ( \frac{a}{ 2c} + \frac{a}{ 2b}) [/tex]. Оттук като приравниш ( и на второто като преведеш под общ знаменател използваш, че b+c=2a) следва, че AK/AM=1/2, което ни трябваше.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
inimitably
Редовен


Регистриран на: 13 Nov 2008
Мнения: 102

Репутация: 37.9Репутация: 37.9Репутация: 37.9Репутация: 37.9
гласове: 25

МнениеПуснато на: Wed May 27, 2009 1:47 pm    Заглавие:

От нещо като основна задача следва :
[tex]IG||BC[/tex] [tex] \Leftrightarrow[/tex] [tex]AB+AC=2BC[/tex](1) , където [tex]I[/tex] е център на вписаната окр. и [tex]G[/tex] е медицентър на [tex]\Delta ABC[/tex].Нека [tex]AI\cap BC=L[/tex] и [tex]N[/tex] е допирната точка на вп.окр. с [tex]BC[/tex] , тогава от (1) [tex] \Rightarrow[/tex] [tex]\frac{AI}{IL}=\frac{AG}{GM }=\frac{2}{1}[/tex] ;

Използвайки [tex]AB+BC=2BC[/tex] пресмятаме [tex]NL=ML=\frac{AC-AB}{4}[/tex] ;

Сега остава да докажем , че [tex]IN[/tex] , [tex]AM[/tex] и [tex]DE[/tex] се пресичат в една точка [tex]X[/tex].
( http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=9479 )

След като приложим теоремата на Менелай за триъгълника [tex]ALM[/tex] и правата [tex]IN[/tex] [tex] \Rightarrow[/tex] [tex]X[/tex] е среда на [tex]AM[/tex].

И накрая още една интересна задача : Ако [tex]B_{1}[/tex] и [tex]C_{1}[/tex] са съответно средите на [tex]AC[/tex] и [tex]AB[/tex] докажете , че [tex]EN[/tex] , [tex]B_{1}C_{1}[/tex] и [tex]BI[/tex] се пресичат в една точка.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2020 math10.com.