Интересно свойство на тр. АВС с АВ + АС = 2ВС

[Pinetop Smith]

Даден е тр. АВС, в който АВ + АС = 2ВС. Вписаната в триъгълника окръжност се допира до АВ и АС съответно в точки D и E, а М е средата на ВС. Да се докаже, че отсечката АМ се разполовява от DE.

[Реклама]

[zhivko_sh]

Изразяваш S(ADE) към S(ABC) по 2 начина и се получава

[Pinetop Smith]

Същото решение измисли и ММ. Можеш ли да се сетиш за нещо друго?

[zhivko_sh]

Да, може и с вектори . Почти същата сметка е

[v1rusman]

@zhivko_sh: Може ли да обясниш по какъв начин ги изразяваш тези лица (че даже и 2 пъти) ? Какви формули използваш ?

[zhivko_sh]

Да, извинявам се, че не съм написал нито едно пълно решение . Нека AM пресича DE в K. При стандартните означения от условието следва, че AD=AE=BM=MC=a/2. Тогава (първо изразяване) [tex] S(ADE)=\frac{AE}{AC } . \frac{AD}{ AB}. S(ABC)=\frac{a}{2b }.\frac{a}{2c } .S [/tex]. Второ изразяване: [tex] S(ADE)=S(ADK)+S(AKE)=\frac{AD}{ AB} .\frac{AK}{AM }.\frac{S}{ 2} +\frac{AE}{AC }.\frac{AK}{AM }.\frac{S}{ 2} =\frac{AK}{AM } .\frac{S}{ 2} ( \frac{a}{ 2c} + \frac{a}{ 2b}) [/tex]. Оттук като приравниш ( и на второто като преведеш под общ знаменател използваш, че b+c=2a) следва, че AK/AM=1/2, което ни трябваше.

[inimitably]

От нещо като основна задача следва :
[tex]IG||BC[/tex] [tex] \Leftrightarrow[/tex] [tex]AB+AC=2BC[/tex](1) , където [tex]I[/tex] е център на вписаната окр. и [tex]G[/tex] е медицентър на [tex]\Delta ABC[/tex].Нека [tex]AI\cap BC=L[/tex] и [tex]N[/tex] е допирната точка на вп.окр. с [tex]BC[/tex] , тогава от (1) [tex] \Rightarrow[/tex] [tex]\frac{AI}{IL}=\frac{AG}{GM }=\frac{2}{1}[/tex] ;

Използвайки [tex]AB+BC=2BC[/tex] пресмятаме [tex]NL=ML=\frac{AC-AB}{4}[/tex] ;

Сега остава да докажем , че [tex]IN[/tex] , [tex]AM[/tex] и [tex]DE[/tex] се пресичат в една точка [tex]X[/tex].
( http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=9479 )

След като приложим теоремата на Менелай за триъгълника [tex]ALM[/tex] и правата [tex]IN[/tex] [tex] \Rightarrow[/tex] [tex]X[/tex] е среда на [tex]AM[/tex].

И накрая още една интересна задача : Ако [tex]B_{1}[/tex] и [tex]C_{1}[/tex] са съответно средите на [tex]AC[/tex] и [tex]AB[/tex] докажете , че [tex]EN[/tex] , [tex]B_{1}C_{1}[/tex] и [tex]BI[/tex] се пресичат в една точка.