интеграл от 1/(a^2-x^2) и от 1/(x^2-a^2)

[narcis88]

Знам,че ги има в таблицата на основните интеграли,но предпочитам да мога да си ги извеждам,а с тези двата срещам затруднения.Ще бъда благодарен,ако някой обясни как се стига до решението.

[Реклама]

[ганка симеонова]

Това не са таблични интеграли.

[narcis88]

Да знам,не се изразих правилно.На упражнения ни ги дадоха на готово,като често използвани заедно с още няколко.Решенията им са (1/2a)ln((x+a)/(x-a)) и (1/2a)ln((x-a)/(x+a)), но как се стига до тях.Принципно решавам далеч по-сложни интеграли,но реших за почивка да си ги докажа и нещо забих.

[ferry2]

[tex]\int \frac{dx}{a^2-x^2}=\int \frac{dx}{(a-x)(a+x)}[/tex]- интеграл от рационална функция!

Разглеждаме само подинтегралната функция [tex]\frac{1}{(a-x)(a+x)}=\frac{A}{a-x}+\frac{B}{a+x}[/tex]

[tex]\frac{1}{(a-x)(a+x)}=\frac{A(a-x)+B(a+x)}{(a-x)(a+x)}\Leftrightarrow 1=A(a-x)+B(a+x)\Leftrightarrow 1=(A-B)x+(A+B)a[/tex], за да определим А и В образуваме системата:

[tex]\begin{tabular}{||}A-B=0\rightarrow A=B \\ (A+B)a=1 \\\end{tabular}[/tex]
Откъдето намираме [tex]A=\frac{1}{2a};B=\frac{1}{2a}\Rightarrow[/tex]

[tex]\Rightarrow \int \frac{dx}{(a-x)(a+x)}=\int \left(\frac{1}{2a(a-x)}+\frac{1}{2a(a+x)}\right).dx=\frac{1}{2a}\left(\int \frac{dx}{a-x}+\int \frac{dx}{a+x}\right)=\frac{1}{2a}\left(-\int \frac{d(x.(-1)+a)}{a-x}+\int \frac{d(x+a}{a+x}\right)=[/tex]

[tex]=\frac{1}{2a}(\ln |a+x|-\ln |a-x|)=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{a+x}{a-x}\right|+C[/tex]

С аналогични разсъждения се решава и другия !

[narcis88]

Да,ясно,само с елементарни дроби не ми хрумна да опитам.Мерси много!